一道經典幾何題:求∠C的度數,題目難度大,輔助線不易做

2021-01-15 騰訊網

中學數學分為代數和幾何兩個部分，那麼代數和幾何究竟哪個更難呢？對於這個問題，我曾經對學校的初中生和高中生進行了一個簡單的調查，結果表明更多的學生認為幾何比代數難，而且這一比例在女生中更高。幾何難在什麼地方呢？難在輔助線。

在一些比較複雜的幾何題中，一般是需要做輔助線才能求解或者證明，但是輔助線的做法又是一大難點，甚至很多時候只要作出了輔助線，這道幾何題就算是成功了一半。當然，做輔助線有一些比較常用的方法，比如倍長中線、截長補短等等。本文和大家分享一道經典的初中幾何題。

如上圖，已知∠A=30°，∠B=90°，AB=BC=AD，求∠C的度數。

不少人看到這道題目時會認為很簡單，但是下筆做才發現其實並不簡單，甚至難住了不少學生。那麼這道題究竟該怎麼做呢？下面和大家分享兩個不錯的方法。

方法一：

如上圖，過點D作DE⊥AB於E，作DF⊥BC於F，連接BD，則△ADE為直角三角形，四邊形BEDF為矩形。為了寫起來方便，設AB=BC=AD=2x。

在Rt△ADE中，因為∠A=30°，所以DE=AD/2=x，BF=x=BC/2。

又因為DF⊥BC於F，所以D點在BC的垂直平分線上，所以DB=DC(此處也可以用全等證明)，所以∠C=∠DBC。

在△ABD中，∠A=30°，AB=AD，所以∠ABD=75°，所以∠DBC=90°-75°=15°，所以∠C=15°。

在方法一中，如果老師擴展了15°角的三角函數值，那麼還可以用更簡單的輔助線就能做出來，有興趣的同學可以嘗試一下。

方法二：

如上圖，分別過點A、C作BC、AB的平行線交於點G，則四邊形ABCG為正方形。

因為∠BAD=30°，所以∠DAG=60°。

因為AD=BC，所以AD=AG，所以△ADG為等邊三角形，所以∠AGD=60°且DG=AD=AG，則∠DGC=90°-60°=30°。

在△CDG中，∠DGC=30°，CG=DG，所以∠GCD=75°，所以∠BCD=90°-75°=15°。

這道題的難度實際上還是挺大的，題幹的條件很少，我們需要通過輔助線將題幹中的條件串聯起來，並且作的輔助線比較複雜，文中講到的兩個方法都做了3條輔助線才能求出結果。當然，如果把15°角當成一個特殊角，能記住它的三角函數值，那麼這道題可以在方法一中進行精簡，不需要連接BD也可以求解。你還有更好的方法嗎？

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