質能方程E=mc^2的推導過程是怎樣的?

質能方程是從愛因斯坦的狹義相對論中所推導出來的，為了得到這個方程，先要了解質增效應。

根據狹義相對論，隨著物體的運動速度逐漸加快，其質量也會隨之增加，

其關係如下：

上式中，m0為靜止質量，m為運動質量（或稱相對論性質量），v為速度，c為光速。

根據牛頓的第二運動定律：

注意m是變量，所以也要對其進行微分。

然後，再由機械能守恆定律可得，物體的動能Ek為：

對上式兩邊同時進行積分可得：

愛因斯坦把上式中的m0c^2稱為物體的靜止能量E0，mc^2則為物體的運動能量E，所以物體的動能就等於物體的運動能量和靜止能量之差。由於E=mc^2把質量和能量通過光速聯繫在一起，所以我們就將其稱作質能方程。根據質能方程，即便是小如塵埃的物體，它也擁有著巨大的能量，因為光速平方是一個極其巨大的數值，這也是為什麼核彈能夠釋放出極為龐大能量的原因。

再來看一下相對論動能公式，其表達式似乎與我們中學所學的牛頓動能公式Ek=1/2mv^2似乎是不一樣的。但如果我們對(1-v^2/c^2)^-1/2進行泰勒展開：

如果速度遠遠小於光速，即v<<c，我們可以近似地只保留上式右邊的二階小項，也就是只取其中的兩項。然後，將其帶回相對論動能公式可得：

此時的相對論動能公式近似於經典物理學中的動能公式，所以牛頓動能公式的適用範圍是低速狀態，其簡單形式方便計算。但一旦涉及到亞光速運動，只能使用相對論動能公式。