如何利用普通計算器求解高次方程的解

2021-02-24 科研充電寶

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一元二次方程我們在初中就知道怎麼解了，一元三次方程也有解析解，但太複雜，沒多少人能記住。

 

除了少部分通過觀察可以進行因式分解求解，大部分都沒那麼簡單能一眼猜出來。

 

遇到這些高次方程，一般用Matlab求下，很簡單，但其最大的缺點是要用電腦。

 

其實只要我們手上有下圖所示「計算器」就可以解一般的三次方程，甚至是更複雜的高次方程。

 

這裡所謂的「普通計算器」是指一般學生使用的卡西歐計算器等，如下圖，普及率應該很高。

 

以求一元三次方程 2x^3-7x^2+x-15=0 為例。

 

1. 原理

原理為迭代法，「數值分析」的知識就強大在這裡。

 

對於一般的方程：f(x)=0，求x0使得 f(x0)=0 。

 

轉化 f(x) 的形式，f(x)=x-G(x) ，x=G(x)

 

使用牛頓迭代法，G(x) 的形式為：G(x)=x - f(x)/f'(x)，代入可見 f(x)=0自然成立。

 

我們給G(x)中的x一個初值，計算得到的值可以再作為x帶入G(x)計算，直到x穩定在某一個值，此時G(x0)=x0，這個穩定的值x0就是方程的一個根（不動點）。

 

2. 實際操作

圖示計算器內置有10個變量，A-F，X，Y，M，以及Ans，可以分別賦值並帶入表達式計算。

 

其中，Ans是一個很特別的變量，它是每次計算的結果，"Answer"。我們要用的就是它！

f(x) 的導數，f'(x)=6x^2-14x+1

 

 

在計算器中輸入：

Ans-(2Ans^3-7Ans^2+Ans-15)/(6Ans^2-14Ans+1)

2Ans表示2*Ans，乘號可省略，「/」 是除號。Ans鍵就在計算器右下角，等號旁邊的那個。好戲開始了。

 

輸入完畢，按等號鍵「=」，出現一個值，什麼都別動，再按一次「=」，出現的值變了吧。

 

繼續按個7、8次。前幾個值會相差很大，到最後，結果會逐漸穩定，直到穩定在

3.871283138

 

接下來，你再按個幾萬次，它都不會變了。這個就是方程的一個解。

 

知道了一個根，其他兩個通過因式分解就很容易求解，

 

展開上式，得到 b=0.742， c=3.875

 

然後就是解一元二次方程了，得到兩個虛根，

 -0.186 + 1.382i

 -0.186 - 1.382i

至此，上面一元三次方程的三個根都解出來了。

 

在Matlab中，只要輸入一行代碼就搞定，roots([2,-7,1,-15]) 。

 

Matlab的結果（準確解）：

  3.8713

 -0.1856 + 1.3794i

 -0.1856 - 1.3794i

 

是不是很有意思？

 

3. 給 Ans 賦初值

不同的初值迭代速度不同。有的初值甚至不收斂，也就是怎麼按等號，結果也不會穩定。

 

牛頓迭代法的收斂速度是很快的（二階收斂），所以一般按個10次，結果還沒穩定，可以換個初值試試。

 

而且不同初值可能收斂到不同的結果，那更好，只要收斂，那麼所得結果就是一個根。

 

言歸正傳，給Ans變量賦初值，在計算器中隨便輸入個數值，例如10，或0，或-5等，按一次等號「=」，Ans就被賦予以上你輸入的值了。

 

接著輸入那一串的式子，Ans……。操作類似。

 

也可以換不同的初值試試，而且不需要再次輸入那一串長式子，圖示的計算器有存儲功能。

 

給 Ans換個值，按「向上鍵」調出之前的式子，接著按「=」號就可以了。

更複雜的高次方程也可借鑑上面的方法試試，如果確定有實根，並且知道解的範圍，不難得到結果，只是找到所有解包括虛根就有些困難。

 

4. 結論

迭代法很強大，更多知識請參考工科必修課「數值分析」。

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