什麼是應變模態?

模態試驗除了傳統的實驗模態分析EMA，工作模態分析OMA，聲振模態和聲腔模態之外，還有不常見的應變模態分析。應變模態分析使用應變片（或應變花）作為響應傳感器，採用力錘或激振器進行激勵，或者只測量工作狀態下的應變響應進行OMA分析獲得模態參數：頻率、阻尼和振型。因此，從這一方面來說，應變模態分析與傳統模態分析相同，但從其他方面來講，它與傳統試驗模態分析又有著本質的區別。

01

應用背景

傳統試驗模態分析通常採用加速度傳感器作為響應傳感器，但對於輕質結構而言，使用加速度傳感器會存在問題。首先，最初想測量的結構上是沒有這些加速度傳感器的，這些加速度傳感器會改變結構的動態特性，尤其是輕質結構。另一方面，當加速度傳感器在結構上移動時，會存在數據不一致的風險。對於旋轉類的結構，使用加速度傳感器時，會導致動不平衡問題，還可能存在安全隱患。

應變反映的是結構在受力或溫度場等因素作用下的變形。當考慮材料或結構的強度、承載能力、疲勞損傷等性能時，都是使用應變或與應變相關的應力來衡量。比如飛機機翼、航空器部件、風機葉片等結構進行靜強度試驗時，就是直接測量應變。汽車部件或其他機械部件在周期載荷作用下的疲勞耐久性能，結構的健康監測等都使用測量應變，應變數據是反映結構損傷、疲勞失效最直接的參數。因此，應變能提供加速度傳感器無法提供的信息，起到與加速度信號提供信息互補的作用。在靜強度測試的基礎上，再進行應變模態分析，可洞悉結構的動力學特性，節省成本與時間。

圖1 機翼的靜強度試驗

02

相關理論

對於傳統的位移模態，其頻響函數FRF為：

式中， 

從上式可以看出，傳統實驗模態的頻響函數矩陣是對稱的，滿足互易性，也就是說FRF矩陣的行與列包含了相同的信息。由FRF矩陣中任一行或列都可以得到結構的模態振型。因此，我們可以說，你可以用FRF矩陣的任一行或任一列去估計模態振型。但對於應變模態的頻響函數而言，卻不是這樣。接下來，讓我們來看一下應變的頻響函數SFRF（Strain Frequency Response Function）。

應變的頻響函數 

式中， 

從這個矩陣可以看出，對於任一輸入輸出位置之間的SFRF而言，從應變響應點處獲得的是應變模態振型值，從輸入點處獲得位移模態振型值。對於傳統的FRF矩陣，第一個下標表示響應點，第二個下標表示激勵點。同樣的道理，對於用振型向量表示的SFRF矩陣，第一個下標表示應變模態振型值，第二個下標表示位移模態振型值。

傳統實驗模態的頻響函數矩陣是對稱的，但應變模態的頻響函數矩陣不是對稱的。考慮上式中的任一行（如應變片位於一個測量位置，激勵遍歷所有測點），可以看出任一行都包含了各階位移模態向量，但每一行只包含一個響應位置的應變模態振型值。考慮上式中的任一列（如在一個測點位置進行激勵，所有測點都粘貼應變片），可以看出任一列都包含了各階應變模態向量，但每列只包含一個激勵位置的位移模態振型值。因此，應變模態的頻響函數矩陣中各行包含了位移模態向量的信息，而各列則包含了應變模態向量的信息。

由於應變模態的頻響函數矩陣不是對稱的，因此，互易性是不滿足的。但對於一些簡單結構，如梁、板結構，互易性可以有條件地滿足。對於均質的歐拉-伯努利梁，應變模態向量與位移模態向量有如下關係：

其中，h是梁中性面距梁表面的距離。根據相關理論，可以得到梁的彎曲模態振型的解析解：

式中，λ為波數，係數A1,A2,A3和A4取決於邊界條件。而在0.3L≤x≤0.7L(L為梁的長度)的區域，可以忽略上式中後面兩個雙曲函數的影響，梁的彎曲模態振型簡化為：

將上式代入應變模態向量與位移模態向量的關係式中，可得

考慮在0.3L≤x≤0.7L內的兩個互易性測點「a」和「b」，如圖2所示。採用錘擊法進行互易性測量時，錘擊「a」點，應變測點位於「b」點，得到「b」點的應變模態振型值與「a」的位移模態振型值相乘表示的頻響函數，如圖2中上一行左側所示。錘擊「b」點，應變測點位於「a」點，得到「a」點的應變模態振型值與「b」的位移模態振型值相乘表示的頻響函數，如圖2中下一行左側所示。

圖2 梁的SFRF互易性測量

將應變模態向量與位移模態向量的關係代入，有

而波數與中性面距梁表面的距離是常數，則有

進一步可以得到

這說明，應變的頻響函數滿足互易性要求，但前提條件是測點位於0.3L≤x≤0.7L區域。

對於應變模態的留數Aε可以寫成（類似傳統實驗模態的留數）

將應變模態向量與位移模態向量的關係代入上式，可求解應變模態向量

對於平板類似結構，應變模態求解過程相類似，互易性在0.3Lx,y≤x,y≤0.7Lx,y區域也是成立的。如果在知道應變模態向量與位移模態向量的關係，則在求解應變模態之前，應先獲得激勵位置的位移模態振型值。

03

測量應變模態

模態測試的第一步就是進行測點布置，傳統模態試驗的振動傳感器方向與總體坐標方向保持一致。但應變片或應變花只能粘貼在待測結構的表面，這就明顯與傳統模態測試不同。

如圖3所示，測量梁的彎曲模態時，加速度傳感器布置在梁的Z向，但應變片卻沿梁的軸向（X向）布置，這是因為當梁發生彎曲變形時，梁的伸長或壓縮變形是沿軸向的。

圖3 梁的應變測量布置

對於平板類結構，通常加速度只測量平板的法向，但應變測量只能沿板平面的兩個水平面向，如圖4所示。

圖4 平板結構的應變測量布置

對於空間結構而言，每個加速度測點可以測量三個方向，但每個應變片測點只能粘貼在平面的兩個方向，如圖5所示。當然也可以採用應變花，有一個是沿45度方向。

圖5 空間複雜結構的應變測量布置

從以上可以看出，應變測量的方向完全不同于振動傳感器的方向，那麼在測量時，如何設定方向呢？在這我們分別對使用應變片和應變花的兩種情況進行說明。如果只是採用應變片，那麼，應變片的方向通常是沿總體坐標系的一個方向，如果使用Testlab軟體，可以在通道設置中的方向可以選s(標量)，在測點ID中註明方向，最後用顏色來顯示應變模態振型，而非方向顯示。如果使用三向的應變片進行測量，那麼，仍在測點ID中標明相應的方向，方向設置仍設為s，最後仍然用顏色來顯示振型，只不過，這時需要建立三個幾何，分別對應應變花的每一個方向，如圖6所示，底部所示的為切向的應變模態振型。

圖6 底部為平板切向的應變模態振型

結構發生了彈性變形才有相應的應變響應，中低頻的彈性變形相對更顯著些，所以，應變更多測量中低頻。另一方面，應變的幅值是非常小的，複雜結構通常也就幾個或十幾個微應變，這樣導致信噪比特別低。如圖7所示為對一個複雜的空間結構採用正弦掃頻得到的某個測點的應變響應時域信號，幅值特別小，最大也不超過11個微應變。圖8和9為相關應變測點的FRF曲線，從這些圖中可以看出，應變的頻響函數質量較差，即使使用了能量較大的正弦掃頻激勵。當然，如果結構是簡單的梁、板結構，那麼信噪比將會大大提高，如圖10所示。但現實中的結構大多都是複雜的空間結構。

圖7 空間複雜結構在正弦掃頻激勵下的應變時域信號

圖8 空間複雜結構在正弦掃頻激勵下的應變頻響函數（線性尺度）

圖9 空間複雜結構在正弦掃頻激勵下的應變頻響函數（分貝尺度）

圖10 簡單平板在錘擊激勵下的應變頻響函數（線性尺度）

對於傳統實驗模態分析而言，獲得模態參數必須要有高質量的頻響函數，因此，頻響函數的質量決定了後續模態分析的結果精度。從圖8和9中可以看出，複雜結構的應變頻響函數的質量會變差，這會影響模態參數提取的精度，特別是對阻尼的估計帶來嚴重的誤差。

表1是一個複雜的空間結構在使用加速度和應變作為響應下的頻率和阻尼信息。在這，我們認為正弦掃頻激勵下的加速度響應獲得的結果是正確的，將應變響應下的結果與之進行對比。從表1中可以看出，應變測量下的頻率幾乎與加速度測量相同，這些誤差可以忽略。不管採用隨機激勵還是正弦掃頻激勵，頻率誤差都可以忽略不計。但是阻尼的誤差卻隨著模態階數的增大變得相當大，除第一階模態之外，應變測量得到其他階模態的阻尼可以說完全不正確，當然，正弦掃頻獲得的阻尼要比隨機激勵下的阻尼更可信，這是因為正弦掃頻激勵能量比隨機激勵更大。從這也可以看出，對於複雜結構，應變模態分析得到的阻尼可信度較差。

表1 對比加速度和應變模態結果

階數

響應類型

加速度

應變

激勵方式

正弦掃頻

隨機激勵

正弦掃頻

1

頻率/Hz

46.825

46.801

46.305

阻尼/%

0.33

0.37

0.39

2

頻率/Hz

96.013

96.468

96.70

阻尼/%

0.79

0.15

0.31

3

頻率/Hz

97.854

97.779

阻尼/%

0.89

0.22

4

頻率/Hz

115.903

115.904

115.93

阻尼/%

0.98

0.05

0.46

5

頻率/Hz

121.41

121.362

120.843

阻尼/%

1.09

0.06

0.26

6

頻率/Hz

160.336

159.154

158.985

阻尼/%

1.12

0.1

0.23

模態分析有兩個步驟，第一步是估計極點，第二步是估計振型。極點包含了頻率與阻尼的信息，而我們知道，頻率與阻尼信息是結構的全局屬性，但振型是局部屬性。因此，從理論上講，極點信息與傳統測量是一樣的，而應變模態振型則必須按照一定的原則才能獲得。

傳統模態試驗中，可以將參考點固定，移動激勵設備，如力錘，遍歷所有的測點獲得頻響函數矩陣的一行或多行；也可以把響應傳感器布滿所有的測點，在固定位置激勵結構獲得頻響函數矩陣的一列或多列。由於頻響函數矩陣是對稱的，所以，理論上講，這兩種測量方式是相同的。但對於應變模態而言，如果採用這兩種測試方式進行測量，將得到完全不一樣的結果，這是因為應變的頻響函數矩陣不是對稱的。

當一個或多個應變片作為模態參考點，移動激勵設備遍歷所有的測點時，可以得到SFRF矩陣的一行或多行，從上一小節中可以看出，這些行包含了所有測點的位移模態向量，但只包含這幾個應變參考點的應變模態振型值（矩陣一行只包含同一個應變測量位置的應變模態振型值）。因此，採用這種方法只能得到位移模態振型，得不到應變模態振型。想要獲得應變模態向量，必須獲得SFRF矩陣中完整的一列或多列。也就是說應在固定位置進行激勵，在所有測點上布置應變測點。同一列中包含各個不同測點的應變模態振型值，只包含激勵位置的位移模態振型值。

圖11是對一塊鋼板分別採用加速度傳感器和應變片作為參考點，移動力錘激勵所有測點時，獲得的幾階位移模態振型。左側為加速度傳感器作為參考點獲得的位移模態振型，右側為應變片作為參考點獲得的位移模態振型。由前面分析可知，當採用應變片作為模態參考點，移動力錘遍歷所有測點時，只能得到應變頻響函數矩陣的一行或多行，只能得到位移模態振型，因此，對比圖11中同一行可以看出，採用應變片作為模態參考點獲得的位移模態振型與加速度獲得的位移模態振型幾乎沒有區別。

圖11 加速度傳感器（左）和應變片（右）作為參考點獲得的位移模態振型

想獲得應變模態振型必須在所有測點上粘貼應變片，激勵在固定位置進行激勵，獲得應變頻響函數矩陣的一列或多列。但此時，留數中還包含激勵位置的位移振型值，要求解（或縮放）應變模態振型必須要知道激勵位置的位移模態振型值。這時可利用上一小節中的應變模態與位移模態的關係進行求解。如果不使用二者的關係，則需要在激勵位置額外布置一個加速度傳感器，用於獲得該位置的位移模態振型值。

在傳統模態試驗中，模態參考點的選擇是至關重要的，要求避開關心的各階模態的節點，當然是避開各節位移模態的節點。由於應變模態中既包含位移模態振型，又包含應變模態振型，因此，在選擇應變模態的參考點時，既要避開位移模態的節點，又要避開應變模態的節點。而應變模態的節點是應力為零或變形為零的位置處，如自由端位置。故，應變模態的參考點時，要同時避開位移模態和應變模態的節點，不能選擇結構的自由端位置或約束位置處。

04

與傳統模態的區別

模態分析的最終目的是獲得結構的模態參數，在這一點上，傳統模態與應變模態是相同的，但二者又有著本質的區別。傳統模態分析通常使用加速度傳感器作為響應傳感器，獲得位移模態振型；而應變模態採用應變片（或應變花）作為響應傳感器，獲得應變模態振型。因為響應傳感器的不同，會導致兩個模態分析試驗差異巨大。

與應變模態試驗相比，傳統試驗模態的準備工作更容易，這是因為加速度傳感器安裝比應變片安裝省時省力：安裝數十個加速度傳感器都比粘貼一片應變片更快。因此，應變模態試驗的準備、檢查工作所耗費的時間與精力可能是傳統模態試驗準備工作的數十倍或者上百倍，這取決於應變測點的數量。

應變測量過程中還會遭遇多種常見的幹擾與故障，如零漂、工頻幹擾、電磁幹擾和橋路難以平衡等問題，這些問題無形給應變模態試驗增加了難度。另一方面，通常結構的變形是非常小的，也就是說結構在受到激勵之後的應變響應非常小，導致信噪比差，給後續的模態分析帶來影響，特別是影響阻尼估計。

從測量方式上來講，傳統模態試驗既可移動激勵設備（如力錘），也可固定激勵位置，但應變模態分析要求獲得應變頻響函數矩陣的一列或多列，這就決定了其測量方式只能選擇固定激勵位置，在所有測點上布置應變片。

應變的頻響函數中不僅包含應變模態振型值，還包含位移模態振型值，這就使頻響函數矩陣不對稱，而傳統模態實驗的頻響函數矩陣是對稱的。由於應變頻響函數中包含位移模態振型值，這就決定了在求解應變模態振型值時，必須首先要獲得激勵位置的位移模態振型值，或是知道位移模態向量與應變模態向量的關係。因此，應變模態振型的求解與位移模態求解的方法不同。

驅動點頻響函數是傳統模態分析中一個非常重要的數據，但應變模態通常較難以獲得驅動點的應變頻響函數，這是因為即使激勵與響應是在同一位置，但應變片測量方向也不同於激勵方向。

除了以上差異之外，應變模態與傳統模態分析的最大差異來自於邊界條件下的振型差異。在這以如圖12所示的懸臂梁為例，說明二者的差異。圖12所示的懸臂梁的自由端在各階位移模態振型中的幅值是最大的，但是自由端應力為零，變形為零，而約束端在各階位移模態振型中的幅值是最小的，但所受的應力最大，變形最大。也就是說，懸臂梁的自由端在位移模態中振型值最大，但在應變模態中振型值最小；約束端在位移模態中振型值最小，但在應變模態中振型值最大，如圖13所示，二者剛好相反。這說明，應變模態的振型與我們常規的位移模態振型完全不一樣，應變模態振型反映的是結構在不同位置的變形大小，或者說應力大小。我們知道，位移模態的振型是連續的，但應變模態振型可能存在不連續的情況，這是因為，如果結構某處的應力不連續，如受力有突變，則在此位置的應變模態振型則會發生跳躍，出現明顯的連續。

圖12 懸臂梁

圖13 懸臂梁的位移模態振型（上）和應變模態振型（下）

圖13中的位移模態振型方向是振型實際的運動方向，但應變模態的方向卻不是實際發生變形的方向。在對懸臂梁進行應變模態測量時，應變片測量的是沿梁的長度方向，變形也就是發生在梁的長度方向，因此，圖13中給出的應變模態振型只是表徵在各個測點位置處變形的相對大小，不表徵梁的變形方向。

參考：

1. Strain-based experimental modal analysis: new concepts and practical aspects, F. L. M. dos Santos, ISMA 2016.