你討厭數學嗎？你為數學傷透了腦筋嗎？你厭倦無休止地背公式嗎？你有過無數次在數學課堂上欲燃欲爆炸的時候嗎？
現在，讓我們重新定義數學！
我們將拋開傳統晦澀的數學符號和講述方式，另起爐灶，從零開始。
我們將忘掉之前所知的關於數學的一切，忘掉那些愚蠢的公式，自己重新創造數學。
現在，讓我們一起進入這堂非比尋常的數學課吧！
面積最簡單的形式是長方形的面積。你肯定知道長為l寬為w的長方形面積為lw，不過請先忘掉它。假設我們不知道長方形的面積是長乘寬。
假設我們大致知道「面積」在非數學的意義上是什麼意思。也就是說，我們知道這個詞描述的是一個二維物體有多大，但我們不知道如何將這個概念與數學聯繫起來。我們可以用A作為面積(Area)的縮寫，然後寫出A=?之類的，但其他的就不知道了。不過，根據我們的日常經驗，我們還是知道一些東西：
我們可以將上面這句話高度濃縮，寫成
A(l, w) = ?
取代前面的簡寫A=?。括號裡的新玩意的意思是「這多少取決於長和寬，我將其縮寫成l和w。其他的我就不知道了。」
請注意這個縮寫與前面對機器的縮寫很相似。你可以說「我不是在談論機器，只是在縮寫，」也可以將其與機器的縮寫聯繫起來，「如果我們得出了面積的精確描述，應當可以構造一臺機器，如果餵給它長方形的長和寬，它就會吐出長方形的面積。我們稱這臺機器為A。」這兩種認識都能讓我們達到同樣的目的，因此你可以選你喜歡的然後繼續。
由於我們是從日常的直觀經驗開始構建面積的精確數學概念，因此在開始的時候我們沒有數字。如果不能從定量的東西開始，就只能從定性的東西開始。雖然沒有規則告訴我們該如何做，但我們可以要求精確的概念符合我們的日常認識。基於此，我們可以寫下另一個日常認識：
如果不理解，可以參見圖1.3。我們對面積的模糊的、直觀的、非數學的認識不足以告訴我們長方形的面積是長乘寬，但可以告訴我們如果寬加倍(同時長不變)，則面積也應當加倍。我們可以將這個認識縮寫為：
基於同樣的理由，如果長加倍而寬不變，則面積也應當加倍。我們可以將其縮寫為
不僅如此，語句中的「加倍」這個詞也可以一般化。如果我們將寬增大為3倍，則會有3份原來的拷貝，因此面積也應當是原來的3倍。長也是一樣。4倍，或者更多整數倍都是如此。如果不是整數倍呢?例如我們可以將長從l變成(寬不變)，則會得到份原來的拷貝,因此面積也應當是原來的倍。顯然，無論面積如何定義，這些語句都抓住了我們的直觀認識，無論放大倍數是多少。我們可以將這無窮多條語句縮寫為
#可以是任何數。但如果是這樣，我們就可以利用數學技巧來得出長方形的面積，將l寫為l·1，然後——
(遠處傳來一陣聲音。)
誒!什麼聲音?!……是你嗎?
讀者：嗯……不是我。我覺得是你那邊傳來的。
作者：你確定?
讀者：是的，肯定是。
作者：嗯……好吧，我們說到哪了?對了，等式(1.1)和(1.2)告訴我們可以將數字提取面積機器的外面，無論是什麼數。但如果是這樣，我們就可以利用一個技巧，將長和寬本身也提取出來!因為它們也是數字。既然l與l·1是一樣的，w也與w·1是一樣的，我們就可以巧妙地將等式(1.1)和(1.2)作用於l和w本身，就像這樣：
也就是說長方形的面積是長乘以寬……乘以另一個東西?這個A(1，1)到底是什麼呢?
其實等式(1.3)告訴我們的是單位的概念。它說的是我們可以得出任意長方形的面積，但首先要明確單位長方形的面積，也就是長和寬都為1的長方形(或者其他任何長方形)。如果我們以光年為長度單位，則A(1，1)就是1平方光年的面積。如果長度單位是納米，則A(1，1)就是1平方納米的面積。
我們可以令A(1，1)為1，但只是為了方便。如果需要，我們也可以令A(1，1)為27，這樣式子就為A(l，w)=27lw。也許看上去有點奇怪，但並沒有錯。除了令A(1，1)為1或其他的數，我們也可以將等式(1，3)寫為如下形式：
這樣我們就可以不用關心單位［也就是說不用決定A(1，1)是多少］，但同時也就不能談論面積本身。這個等式告訴我們某個東西等於長乘寬，但不是面積，而是面積的比，即你可以在A(l，w)中放多少個A(1，1)。
發明這些之後，我們可以看到數學的確比我們聰明——不僅告訴了我們單位的概念，還告訴了我們如何將一種單位的面積轉換成另一種單位的面積(比如從納米轉換為光年)。在自己發明數學概念的過程中我們還會遇到很多這樣的例子，即便是我們很熟悉的簡單概念，也能給我們帶來更深刻的認識。
不僅如此，我們不難看出，同樣的論證對於任意維度都成立。假設我們有一個3維的盒子之類的東西，長、寬、高分別縮寫為l、w、h。與面積一樣，如果我們將(比如)高度加倍，長和寬保持不變，則我們將得到原來的盒子的兩份拷貝，因此體積應當加倍。同前面一樣，「加倍」這個詞可以一般化，放大任意倍數這個想法依然成立。長和寬也是一樣。因此對於3維，對於任意的數#，以下3個等式都成立，並且3個語句中不用取相同的數：
與前面一樣，我們可以將這3個等式作用於l、w和h本身，得到
現在我們可以做更加奇怪而且有趣的事情：我們可以討論更高維的空間。如果n很大，我們就無法畫出n維空間中的事物。誰也做不到。我們甚至不知道「n維空間」是什麼意思。但是沒關係!我們完全可以說「無論n維空間如何定義，也無論n維版的長方形盒子如何定義，它們最好與它們的2維和3維表兄弟有相似的性質，我們也可以進行相似的論證。如果不是這樣，那就不是我所說的n維空間。」有了這些，我們就有把握寫出
其中V指的是「n維空間中的體積，」並且我們決定不再像2維和3維那樣給不同的方向起不同的名稱。可以將它們都縮寫為l，然後用不同的數字下綴區分它們(l1，l2，…，ln)。
雖然我們無法畫出談論的東西，但還是可以對其進行推斷。例如，如果n維盒子形狀的東西的所有邊的長度都相同(記為l)，則這個東西是一個n維立方體。如果我們令V(1，1，…，1)為1(只是為了方便)，則可以推斷這個高維盒子的「體積」為V=l^n。我們可以掌握這個「n維體積」的性質，即便我們無法將其畫成圖形。
總的來說，通過思考我們對面積的日常認識，並對我們的認識進行縮寫，將無窮多個模糊的語句用一句話表達，我們的認識就可以轉化成長方形的面積必須為lwA(1，1)。
想顛覆更多對於數學的傳統認知？
想收穫從學渣逆襲學霸的逆襲快樂和自由？
想重塑數學思維？
盡在——
《燒掉數學書》
[美]傑森·威爾克斯 著
湖南科學技術出版社·原力
2020年11月出版
點擊閱讀原文，立即購買
想獲取更多一手書訊？想和天南地北的「一推boys&girls」一起玩耍？想和原力編輯部的小夥伴們親密互動？想get獨家福利？快加入我們的讀者群吧👇
掃描二維碼或添加一推君微信（YLiFORCE）加入讀者群