【立體展開】圓錐的側面展開圖

圓錐的側面展開圖的案例應該是很多老師想做，但是卻沒有頭緒的案例。其實這個案例並不是特別困難，關鍵的就是我們要知道圓錐的曲面方程。

這裡，我們可以先看下圓錐面的基礎曲面方程。這個圖片也是由GeoGebra繪製的，類似的常見曲面方程，大家可以參考我之前製作的常見的參數曲面。曲面( <x表達式>, <y表達式>, <z表達式>, <參變量1>, <起始值>, <終止值>, <參變量2>, <起始值>, <終止值> )如果想繪製任何曲面，只要知道了曲面的參數方程，就可以利用曲面指令，迅速畫出曲面。
這裡我們先按照最基礎的圓錐曲面參數方程繪製一個圓錐曲面。a = 曲面(u sin(α), u cos(α), u, α, 0, 2π, u, 0, 5)

以此為基礎，可以嘗試修改下曲面方程，如我們可以把曲面的z表達式變為 5-u，這樣圓錐就顛倒了過來。
a = 曲面(u sin(α), u cos(α), 5-u, α, 0, 2π, u, 0, 5)

以此為基礎，怎麼讓圓錐的底面半徑和高不一致呢？如底面半徑為r，高度為h。先設置兩個滑動條。然後再修改下x、y、z表達式和u的最大值。a = 曲面(u r/h sin(α), u r/h cos(α), h-u, α, 0, 2π, u, 0, h)

以此為基礎，如果我們想改為部分圓錐，就修改參數α的最小值、最大值。為此，我們做一個滑動條β。a = 曲面(u r/h sin(α), u r/h cos(α), h-u, α, 0, β, u, 0, h)

至此，圓錐展開圖就完成了一半了。加上目前缺的部分圓錐展開的扇形就可以。
為了畫出扇形，我們應該先找到扇形所在平面的垂線。垂線的垂足即為圓錐的頂點A。此時角OAB的正切值為r/h。為此，我們做一個C點。（O=(0,0,0)）
C=(h sin(β),h cos(β),r+h)

此時角CAD的正切值為h/r。（D=(0,0,10)）。如此，角CAB=90°，CA即為我們要找的垂線。

有了垂線AC，即可將B繞AC旋轉一定的角度得到B',扇形BAB'即為展開部分。這裡需要計算出到底應該旋轉的角度是多長？數學計算問題。

扇形的圓周角即為=(360°-β)*r/sqrt(r²+h²)
B'=旋轉(B,-(360°-β)*r/sqrt(r²+h²),直線(A,C))

c=圓扇形(A, B, B')

這樣做當半徑大於高度的時候會出現錯誤，如下圖。

這是因為圓扇形指令默認圓心角小於180°。為此，我們做出B,B'的圓弧中點。修改c的指令為三點扇形。D=旋轉(B,-(360°-β)*r/sqrt(r²+h²)/2,直線(A,C))

附錄：

案例中涉及到的指令（以使用先後排序）。

曲面( <x表達式>, <y表達式>, <z表達式>, <參變量1>, <起始值>, <終止值>, <參變量2>, <起始值>, <終止值> )

滑動條( <最小值>, <最大值>, <增量>, <速度>)

旋轉( <幾何對象>, <度|弧度>, <旋轉軸> )

直線( <點1>, <點2> )

圓扇形( <圓心>, <點1>, <點2> )

三點扇形( <點1>, <點2>, <點3> )

圓周( <軸線>, <圓上一點> )

案例中用到的小技巧（以使用先後排序）。

曲面繪製（曲面的繪製主要就是運用曲面指令，關鍵找到曲面的參數方程）

三點扇形（對於大於180°的扇形，要運用該指令）

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