數學中的一些美麗定理具有這樣的特性:它們極易從事實中歸納出來,但證明卻隱藏得很深,數學是科學之王。
——高斯
深秋的重慶溫暖如春,暌違已久的陽光讓人感覺春天的到來,融僑南開中學的校園裡,學生們忙碌地穿梭於綠樹成蔭的大道之上。
高三年級組教師辦公室,剛剛下課的數學老師楊飛端著杯子喝了一口水,若有所思地抬起頭又埋下,他似乎準備拿起筆卻發現身邊沒有筆。
看到前來到訪的新聞記者,楊老師一邊示意我們坐下,一邊思考著,終於思考結束了,我們的採訪才算是開始了。
「能夠學好數學的,一定都是天賦極高的人。」採訪的開篇,由記者的讚美之詞開始。
「術業有專攻,不能算是天賦高。就像會寫字的是不是一定就會寫詩?我只是很喜歡數學而已。」南開中學高三年級組數學老師楊飛用這樣的話開啟了我們的採訪。
能把數學上成生活,能把術學、周易八卦、街頭測字小把戲這些所有生活中接觸到的東西,統統用數學解釋出來,楊老師的課不但上成了「傳奇」,還把很多數學不太開竅的孩子打通了「任督二脈」。因為他有獨門絕技,尤其酷愛不等式,江湖人稱「楊不等」(奧數競賽中四大板塊之一,難!真的很難!)。
上午8:50,我們走進融僑南開中學高三五班的數學課堂。
尋找一種解題之碼
要把複雜的數學歌訣化
這一節課的數學,是講題。
一張A4紙正反兩頁寫了9道數學題,標題為「幾何向量不用怕,模換三角坐標化」。簡單的兩句話,道破了解題精髓。楊老師告訴新聞記者,幾何向量是高考題中失分率最高,也是非常困難的題,難在很多人並不知道如何下手解決。
一道題如下:在平行四邊形ABCD中,AP⊥BD,垂足為P,且AP=3,則等於多少?
這是湖南省2012年的一道高考題,時隔多年,依舊是很多省市高三複習的重點。
「都學過哲學吧,這裡面我們可以引入一個特殊性原則。」楊老師一邊說一邊畫著圖,既然沒有說這個平行四邊形的邊長,為什麼不特殊化處理?把它看作正方形,這道題豈不是就迎刃而解了嗎?
講臺下的學生,若有所思點點頭,甚至提出了更多的解題意見,「哎呀,我之前就是想複雜了,是說不得半天做不出來哦。」「這個,為啥子我之前沒有想到呢?」
針對這類比較複雜的幾何向量問題,楊老師的建議儘量坐標化處理,「這是破解幾何向量問題的絕招。」
在楊老師的備課本裡,許許多多的難題都通過這樣的口訣來破譯,「任何題都有解題方法,能夠尋找到一個恆定的解題碼,對於高考分秒必爭的學生來說,是至關重要的。」
玩耍中尋找數學原理
「心靈感應」用二進位就能計算出來
下課了,楊老師給我們展示了滿滿兩口袋的數學學具,裝滿了這些年來楊老師在數學校本課程上傾注的心血。
「上數學課挺燒腦子的,來我們玩個『心靈感應』的遊戲嘛。」說完,這位50歲的老師就像個孩子一樣和我們玩耍起來。
「這裡面有5張板子,你們看這張板子上面一個數,1—31的數你隨便想一個,然後我保證可以猜出來,你看,我的板子後面不能透光,也根本沒寫字哦。」說完,楊老師笑嘻嘻地把板子正反兩面拿給記者檢查,之後,舉起第一站板子,然後問記者,這個數字是否在上面。
「在!」記者注意到,這張板子上的數全部是單數。
接著第二張板子出來了:「這一張有沒有?」「沒有。」記者注意到,這一張板子上的是單雙混合,看不清楚規律。
第三張板子又來了,同樣單雙混合的數沒有記者心目中想的數。
第四張和第五張板子出現後,記者發現,這個數均出現在這兩張板子上,問完所有的問題,楊老師笑顏開懷地說:「哈哈哈,你想的數是25,對不對?」
此刻的現場只剩下「瞠目結舌」的我們,「你怎麼算出來的,楊老師?」「難道你可以洞察我們的內心?」
楊老師老道地轉過身,在黑板上寫下11001五個數字,「用二進位來計算,有和無是兩種狀態,如果把有用1表示,無用0表示,從第一次開始有寫1,按照個位、十位、百位、千位、萬位的順序分別是1、0、0、1、1,寫出來讀作11001,這是一個二進位數,翻譯成為十進位數時,最高位是2的4次方,其次為2的3次方,兩個0沒有數,最後一位為2的0次方,因此算下來是16+8+1=25。」
「回去和小孩玩玩遊戲也是不錯的選擇喲,保證崇拜你。」楊老師笑著教我們方法。
十賭九輸的筷子遊戲
其實就是拓撲學原理的應用
玩具兜有一雙黑白筷子,一根長長的鞋帶,意猶未盡的楊老師又開始和我們變起魔術來。
「看,我把鞋帶繞在黑色的筷子上了,你看,我繼續繞啊繞啊……」感覺在要被繞暈後,「你猜,現在繩子套在哪一根筷子上?」
「黑色!」記者堅定地說。
「嘭……」繩子滑開了,繩子套在白色的筷子上,結果讓在場的我們大跌眼鏡,楊老師卻開心地笑了起來,「我給你說,隨便你們猜什麼顏色的筷子,那個答案都在我這裡,你猜白色,我就套黑色,猜黑色我就套白色。」
這個看似魔術一樣的遊戲,也被很多人用在街頭當做騙錢的把戲,而在酷愛數學的楊老師眼裡看來,卻蘊含了很豐富的數學原理——拓撲學。
在黑板上,他畫了一個曲線圍合成的圈,在圈裡任意取了一個點,從這個點作一條射線。然後過點作出一條射線。
「你注意看,當這個點在內部的時候作射線,這條射線與這個閉合圈的交點是奇數,而如果點在外部作射線,那麼射線與閉合圈的交點變成了偶數,這就是約當定理。」楊老師說:「玩這個遊戲的時候,鞋帶一端要做記號,便於判定鞋帶哪端夾在筷子之間,否則,遊戲會失敗。」
不清楚那些變魔術的人是否知道這個原理,但這其中蘊含的數學哲理告訴大家,你要是想去賭個輸贏,那就證明自己是個傻瓜。
火柴棍的奧秘
4的倍數才是制勝關鍵點
很多小朋友都玩過火柴棍的遊戲,這個遊戲也被楊老師帶到了課堂,遊戲規則是,每個人每一次隨意拿火柴棍1或2或3根,誰能拿到最後,誰就是最後的贏家。
「你莫看這些學生都是18歲的大小夥子,能拿贏老師的學生不多,其實原理真的很簡單。」說完,楊老師又和我們玩了起來,當火柴棍剩下7根的時候,楊老師請記者先拿,記者先拿了1根,楊老師也拿了2根,剩下4根,無論記者怎麼拿,結果都是輸。
「注意了!4根,看到沒有,這個4根你已經發現了問題的關鍵,其實要贏這個遊戲,關鍵就在於剩下火柴棍是4的倍數。」楊老師說:「年輕時遇到一個農婦問了一個火柴棍遊戲,我覺得很有趣,整整想了五天,終於得到幾個奇妙的結論,其中一個結論是在睡夢中夢見的,這大概就是傳說中的靈感吧」
他是數學痴——參加擂臺賽
掙錢不多卻讓他痴迷了數學
1987年,從潼南一所中學考入西南大學數學系的楊飛開啟了自己的數學生涯。畢業後,分配到南桐礦務局子弟校擔任一名數學老師,那會兒工資不高,為了增加收入,楊老師看到《數學通訊》和《中學數學教學》兩本雜誌上常常會有打擂臺的難題,「獎金不菲喲,有時候一道題50塊錢,有的甚至是給美金,25美元。」出於對數學的喜歡和對那份收入的渴望,楊老師開始痴迷解題去打擂臺。
「可惜拿到的獎金不多,那個時候通訊太閉塞了,我們那邊偏遠,有時候我把題解出來了郵寄回去,別人按照郵戳的先後順序,我都沒排上號。」長久的積累卻讓楊老師對數學痴迷起來,走路想題、睡覺想題,想到興奮的地方半夜三更起來寫題,甚至到朋友家做客腦子裡也全部是奇奇怪怪的數學題,「那個時候我媽還說我,你看起恁個木訥,怎麼得了喲?」
殊不知,這麼寫年的積累,卻讓楊老師打通了高中數學學習的「任督二脈」,擔任高中數學競賽主教練10多年,指導40多名學生獲得全國高中數學聯賽一等獎,可謂成績斐然。
數學人這樣閱讀詩歌
用數學對詩歌進行理性思考
「古詩曰,欲窮千裡目,更上一層樓。學過的都知道,這首詩用的是誇張的描寫方法。」楊老師的課堂也和一般人不一樣,非常接地氣。
「你說,你上一層樓看得到多遠?」楊老師問學生。
「一層樓3米,我估計上一層樓可以看得到幾百米遠吧。」臺下的學生回答。
「上到頂樓能不能看千裡呢?」楊老師又問。
這時,課堂上的孩子們還是計算起來,1千裡等於500公裡,相當於重慶到凱裡的距離,根本不可能一眼望到頭。楊老師說:「文學來源於生活,也高於生活。」
「坐地日行八萬裡,巡天遙看一千河呢?」楊老師又問。
面面相覷後,同學們開始思考起來,「地球直徑約一萬二千五百公裡,周長為四萬公裡,即八萬裡。」事實證明,這首詩所言之答案恰好就是地球自轉一天的周長。
新聞面對面>>>
他出書用燈謎、詩歌來解答數學
能夠坐得住的孩子往往更能學好數學
2014年,楊飛老師出版著作《數學與生活》,這部書出版後銷售得最好的地方是江浙地區。如今,書已經基本上買不到了,網上偶有的一兩個賣家,也把原價48元的書提高到了199元的賣價。識貨的,不惜千金購買,因為裡面關於各種生活現象與數學的關係,闡述得淋漓盡致,往往容易打通孩子學習的「任督二脈」。
「數學是很難,這是一門需要學到骨髓裡的學問,正如高斯說的那樣,它們極易從事實中歸納出來,但證明卻隱藏得很深,數學是科學之王。」所以,作為一個老師,自己的任務就是要把隱藏到難題裡面最深的那些道理挖掘出來,「一葉障目被撕掉了,孩子們做題就更簡單容易了。」
回到很多家長關心的話題,當下無論是小升初還是初升高,奧數都是一個重要的考試內容,所以當下,學習奧數也成了一股風潮,特別在小學盛行。
該學奧數嗎?
當新聞記者向楊老師請教這個問題時,楊老師反問記者,你的孩子是兒子還是女兒?
「兒子!」
「那可以學一下,男生的空間想像是很豐富的,如果是女兒,她喜歡也可以鼓勵她去學,如果不喜歡就一定不要勉強,因為學數學真的很苦。」談到學奧數,楊老師說,這裡面學得好的孩子的確有幾分天賦,但後天的努力確實不可低估。
針對很多孩子到了高中數學梯隊掉隊的情況,楊老師說,這是一個必然現象,這與一個學生的基礎、興趣和毅力密切相關
「如果真的要走學數學這條路,必須強制讓自己感興趣,可以努力在做數學題上尋找興趣,取得成功感。」楊老師說一道題想個四五天才做出來是常事,有的題甚至要思考一兩年才能解題,「只要有一兩次這樣的成功,學習數學的積極性就出來了,主動學的結果比被動學強太多。」
「為什麼有很多人在失分的題上依然會失分?原因在於他只去刷題,恰恰忘記了數學最根本的基礎,不能知其然怎麼可以知其所以然呢?」楊老師也建議大家走出傳統的題海套路,用生活的方式來學習數學,可能會輕鬆愉快很多。
慢新聞—重慶晚報記者 王渝鳳/文 畢克勤/圖、視頻