牛頓力學的泊松方程

2020-12-05 經典力學007
西莫恩·德尼·泊松

本文是從萬有引力定律出發，通過類比電場中高斯定律推出引力場中泊松方程。

前提條件：

1、牛頓理論適用

2、非相對論

3、平直時空

首先，要知道

萬有引力：

引力場：

寫成矢量形式

引力勢：

其中引力場和引力勢之間的關係為

接著，我們假設，在一個封閉曲面S內部某一個質量為m1的靜止物體

該物體在S面的質通量為

由任意包圍m1的封閉曲面，質通量不變，則對於以m1為中心，半徑為r的球面求解，得

於是，可以得到封閉曲面內總物質在S上的總質通量，

總質通量為

又由於，總質量可以用密度和體積表示，得

於是

由高斯定律，把左邊變為體積分，得

代入引力場和引力勢的關係

去掉積分符合，得

其中

（▽▽=▽2=△）

於是，得到了引力場中的泊松方程

此方程是找到愛因斯坦場方程係數κ的關鍵點。

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