[案例乾貨]Comsol 基礎案例教學:洛倫茲方程的混沌現象模擬

2021-03-06 百納知識

Comsol 基礎案例教學：洛倫茲方程的混沌現象模擬

美國氣象學家洛倫茲（E.N.Lorenz，不要和提出洛倫茲變換的那位搞混）是混沌理論的奠基者之一。20世紀50年代末到60年代初，他的主要工作目標是從理論上進行長期天氣預報研究。他在使用計算機模擬天氣時意外發現，對於天氣系統，哪怕初始條件的微小改變也會顯著影響運算結果。隨後，他在同事工作的基礎上化簡了自己先前的模型，得到了有3個變量的一階微分方程組，由它描述的運動中存在一個奇異吸引子，即洛倫茲吸引子。

洛倫茲方程是一組典型的非線性方程，來源於大氣物理研究。在一定的參數下，方程的解表現出了非常複雜而又有趣的現象。本案例要求採用數值積分的方法，求解如下洛倫茲方程：

其中a=10，b=28，c=8/3。初值分別為12，2，9。

選擇選擇組件1，右擊，選擇變量，輸入下列參數

 

選擇組件1，選擇幾何1，右擊，選擇間隔，點擊構建所有對象

選擇組件1，選擇係數型偏微分方程，選擇係數型偏微分方程1，設定如下圖所示的各係數矩陣

選擇組件1，選擇係數型偏微分方程，選擇初始值1，設定如下圖所示的各初始值

選擇研究1，選擇瞬態1，在瞬態設定對話框，研究設定中設置時間的範圍為range(0,0.005,30)；選擇研究1，右擊，選擇計算，求解完成

在洛倫茲原始的工作中，x表示的是對流的翻動速率，y正比於上流與下流液體溫差，z是垂直方向的溫度梯度。式中三個參數a、b和c可任取大於0的數值。常用的組合是a=10,b=8/3，而令b取不同數值。b=28時有混沌現象，奇異吸引子出現，此時系統的演化軌跡如結果圖1所示。結果圖1頗似蝴蝶展翅，所謂混沌理論的「蝴蝶效應」之得名據說也與此吸引子的形狀有關。

作者：冰封清泉，從事力學相關研究。

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