高等代數|3.2線性方程組解的反問題研究

2021-02-19 巖寶數學考研

摘要：本節我們主要介紹線性方程組的反問題，我們通常在解決線性方程組的問題時，一般都是根據係數矩陣或者增廣矩陣求解或者討論參數進行求解，但是如果告訴你解向量，那該如何去確定通解呢？帶著這個問題，我們來探究下這個問題.

首先我們來考慮一下齊次線性方程組

接下來我們考慮非齊次線性方程組

例1.設四元非齊次線性方程組的係數矩陣的秩為3，已知

求該方程組的通解.

證明：設方程組AX=b，由

故

為AX=0的基礎解系，從而通解為

其中c為任意常數.

例2.（2017華南理工）設三元非齊次線性方程組的係數矩陣的秩為1，

求線性方程組的通解.

解：三元非齊次線性方程組AX=b的係數矩陣的秩

為方程AX=b的三個解，故

為AX=0的兩個線性無關的解，故其為AX=0的一個基礎解系，故

其中

練習1.（2006山東科技大學）三階方陣A的秩為2，

(1)導出組

(2)求

練習2.(2018四川大學)設矩陣A的秩

求

例3.（2008西南大學）設

解：因為

所以可得

我們不妨取

因為

所以AX=0的基礎解系個數為

即

練習3.(2017河北大學)設

(1)導出組

(2)寫出

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