線性方程並不＂簡單＂的應用, 要不要了解一下?

2021-03-01 數學考研李揚

線性方程組在高等代數理論中發揮著巨大的作用. 今天, 揚哥將根據一些例子來說明它的強大之處. 

首先, 必須掌握方程組, 向量組, 矩陣, 線性空間之間的相互轉化. 向量組的線性相關及線性無關其實就對應方程組有無非零解的問題. 我們再次把非線性方程組解的存在定理拿過來: 

方程組和向量組及矩陣相互融合, 得到一系列有用的結論, 同時也引出來一系列的問題. 比如下面的經典結論: 

還有利用齊次線性方程組基礎解系得到的一系列關於秩不等式的結論, 一個重要的命題如下: 

向量組, 方程組, 矩陣及線性空間是一個緊密聯繫的整體, 它們結合在一起處理的題目可謂數不勝數. 在平常做題時一定要將這些知識點融合在一起學習.  這裡揚哥列出來一些務必要牢牢掌握的定理題, 供大家測試! 

另外, 線性方程組還有其他方面的應用. 其中一個極為經典的例子就是二次型中慣性定理的證明. 此處, 強化講義給出了詳細的解答, 不要嫌揚哥麻煩, 寫這麼多只是為了讓你看的更清晰: 

上述問題第一次接觸可能會感到繁瑣. 但若能靜下心來認真學習其思想, 此問題根本不難. 同樣地, 下面的每日一題也是利用這種思想, 從而解決了一個看似複雜實則思路清晰的多項式問題: 


線性方程組在解析幾何裡面也有不少應用, 這裡尤為經典的例子是利用方程組解的情況判斷空間平面之間的關係. 雖然這在考研題目裡涉及的較少, 但之前也有同學問過, 根據丘維聲上的兩個題目來了解一下吧! 

高等代數精彩知識點連結: 

線性方程組的解法

打洞原理

拆分法

範德蒙行列式的變形與應用

行列式的多項式方法及範德蒙行列式的證明

行列式定義的應用

多項式的分解問題

帶餘除法的應用

單位根的性質與應用

艾森斯坦判別法的證明與應用

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