阿基裡斯追烏龜的故事，相信很多朋友聽過，如果您沒聽過沒關係，我再簡單介紹下這個數學難題。其實就是講有一個人叫阿基裡斯，他是一個跑步冠軍，跑的特別快。然後有一天阿基裡斯和烏龜來了一場賽跑，如果是公平競爭，顯然烏龜不是阿基裡斯的對手，所以比賽是建立在一個不太公平的基礎之上。那就是比賽之前，把烏龜放到阿基裡斯前面200米的位置。這樣一來相當於比賽一開始，烏龜就已經領先阿基裡斯200米了，現在問：在烏龜已經領先阿基裡斯200米的前提下，阿基裡斯最後能否追上烏龜？
也許你聽了這個提問會覺得好奇，這不廢話嘛，阿基裡斯只要速度比烏龜快，遲早會追上烏龜並超過烏龜的，這通過常識就能判斷出來。但是有一個人就偏偏要抬槓，這個人說阿基裡斯就是追不上烏龜。也許你會嘲笑這個人，覺得他真的太傻了。但是這個人說追不上烏龜給出的理由，你會覺得無從反駁。這個人理由是啥呢？
這個人說認為阿基裡斯追不上烏龜原因如下：烏龜一開始領先200米，假設過了一會兒，阿基裡斯就跑到了烏龜200米的地方，但是這過程肯定花費了時間的，別管這個時間有多短，肯定是花費了時間，所以這個時間烏龜也沒閒著，烏龜肯定又往前移動了點距離了。所以阿基裡斯雖然走到了烏龜一開始的200米處，但是烏龜又往前移動到了某處，我們假設這個地方叫B。
接下來阿基裡斯又要繼續追趕烏龜，假設阿基裡斯也到B處了，但是這個過程烏龜也沒閒著，烏龜又會往前走一段距離達到了C處，別管這個距離有多短，總是有一定距離的。所以阿基裡斯又需要繼續追烏龜。這個過程會一直周而復始的循環，所以得出結論：阿基裡斯永遠追不上烏龜。
大家發現沒，這個人雖然很傻，但是這個分析過程，咋看之下你居然無從反駁，因為阿基裡斯的速度雖然快，但是每次阿基裡斯追到烏龜領先處，烏龜又會往前走一段距離，只要阿基裡斯每次走到烏龜的下一個領先處花費的時間不為0，烏龜就每次都有機會繼續領先。所以追不上烏龜這個結論似乎名正言順了。
我們通過常識也應該知道，只要阿基裡斯速度比烏龜快，最後肯定會追上烏龜。但是剛剛的分析感覺也沒錯，那麼問題到底出在哪裡？其實問題出在一個直覺和想當然。我首先問大家一個問題：如果有無限個正數加起來，最後的總和是否一定是無窮大？換一個問法：S=A1+A2+A3+A4+......後面無限個正數加起來，請問S是否一定是無窮大？相信不少朋友會認為：肯定是無限大啊，因為每個項都是正數，無數個正數加起來肯定就是無窮大了啊？
但是我要說的是，無限個正數加起來未必是無窮大，很可能會小於某一個正數，為什麼會這樣呢？因為S雖然的確由無限個正數加起來，但是如果每一項正數符合一定的規律，最後加起來肯定會小於某個數的。舉個例子，如果S=1+1/2+1/4+1/8+1/16+......，請問S是無窮大嗎？其實稍微懂點級數概念的人就知道，這個級數是收斂的不是發散的，這意味著S肯定會小於某一個值。
那麼我們再回到剛剛的場景，假設阿基裡斯速度恰好是烏龜兩倍，假設阿基裡斯第一次追到烏龜初始位置時花費了1秒，由於接下來阿基裡斯繼續追到烏龜下一個位置花費的時間就是1/2秒，然後再追到烏龜下一個位置就是1/4秒，一直追下去，最後我們把追上烏龜花費的時間加起來正好就是：S=1+1/2+1/4+1/8+1/16+......，而S我們已經知道不等於無窮大，所以阿基裡斯在有限時間內肯定能追上烏龜的。
所以經過以上分析，我們可以看出，有時我們的直覺並不正確，就好像文章最開始提到的這個很傻的人，我們之所以無法直接反駁他的理由，是因為我們腦中想當然的認為，無數個時間加起來，其結果肯定是無窮大，所以我們很自然得出結論：阿基裡斯要追上烏龜得花費無限大的時間，也就是阿基裡斯永遠追不上烏龜。但是實際我們如果真的把阿基裡斯追上烏龜的時間去一個一個累計起來，然後用級數來算結果，卻發現結果並不是無窮大。所以數學的研究通常都是靠公設和推理，千萬不要過度依賴自己的直覺和經驗。我是小彭來給您解惑，如果喜歡文章可關注。