計算球體體積的方法很多，本篇我們用一種特殊的方法來計算，這種方法不但可以計算球體體積，拋物體體積，還可以計算任意函數的平均值，它就是：函數值乘以區間長度的和估計我們要求的的量，首先來了解球的體積
球的體積：
我們設想球體表面有函數f(x)=(16-x^2)^1/2的圖像繞x軸旋轉而生成，我們分隔區間-4≤x≤4成n個等長為△x=8/n的子區間，再用在分點垂直於x軸的平面切割球，把球分隔成n個寬度為△x的像圓麵包片似的平行切片，當n很大時，每個切片可用圓逼近，圓柱是一種熟知的幾何形狀，體積為πr^2h,在我們的情形，圓柱立於其側面上，h是△x，而r隨在x軸上的位置而變化，讓我們取圓柱的個數為n=8，而取每個圓柱的半徑為高f(ci)=(16-ci^2)^1/2,ci為每一子區間的左端點，（在x=-4的圓柱是退化的，因為那裡的橫截面僅是一個點）然後我們用圓柱體積之和逼近球的體積。
八個圓柱體積之和是：
這個結果同球的體積的真值相當接近
分隔越細（子區間越多），逼近越好。
非負函數的均值
為求一個數值有限集的平均，我們把它們相加並且除以數值的個數，但是如果我們想求無窮多個數值的平均，情況如何呢？比如，函數f(x)=x^2在（-1,1）上的均值是什麼呢？為了了解這類連續平均是什麼意思，設想我們是對函數抽樣的民意調查員，我們在-1和1之間隨機抽取一些x，把它們平方，再求這些平方的平均值，由於我們取大的樣本，我們期望這個平均趨近於某個數，把這個數稱為f在（-1,1）上的平均值應當是合乎情理的，
圖中的圖形暗示平方的平均小於1/2，這是因為平方小於1/2的數佔到區間（-1,1）的70%以上，如果我們有一個計算機產生隨機數，就可進行上面敘述的取樣試驗，但是用有限和估計值更加容易。
估計函數f(x)=x^2在（-1,1）上的均值：
我們注視y=x^2的圖形並且分隔區間（-1,1）成6個長度為△x=1/3的子區間。
看來在每個子區間上的平方的平均值的一個好的估計是在子區間中點的平方，因為子區間有同樣長度，我們可以平均這六個估計而得到在（-1,1）上的均值的估計。
後面我們將說明均值是1/3
又一次通過函數值乘以區間長度並把對所有區間的結果求和得到我們的估計，
這種方法還可以計算拋物體，橢圓球體體積。可以試試看