2.5 力學量的平均值
2.5.1 位置的平均值
既然 |ψ(x, t)|2 是粒子在空間出現的概率密度，它就是一個通常所謂的「分布函數」，我們可以用它來求力學量 F(x) 在空間的平均值。例如，對於最簡單的情況 F(x) = x，粒子坐標的 x 的平均值為
這個表達式就普通概率論中的平均值公式。
需要注意的是這裡的平均值是多次對相同的系統測量得到位置的平均值，而不是對一個系統重複測量的平均值。因為一旦測量，這個事件就發生了，即概率為 1。數學上就是第一次測量之後波函數就塌縮成 δ 的函數，只要足夠快，之後的測量僅僅是重複同樣的值。
2.5.2 動量的平均值
波函數 ψ(x, t) 隨時間改變，概率密度 ρ(x, t) = |ψ(x, t)|2 當然隨時間改變，ρ(x, t) 是空間和時間的二元函數。坐標的平均值
對 x 積分後是時間的函數，故坐標的平均值 ⟨x⟩ 也會隨著時間的改變。坐標的平均值 ⟨x⟩ 隨時間改變到底有多快呢？從數學上說，我們就對這個時間函數求導；從經典物理上看，就是求速度。即
其中利用了（2.33）式，並用到了分部積分和波函數在無限遠處為零
速度的平均值等於位置平均值的時間導數
這樣，如果已經求到了位置的平均值，再求動量平均值就很方便。
2.5.3 力的平均值
對於一個動量為 p，勢能為 V (x) 的微觀粒子，經典力學的基本方程
依然成立。其中，⟨p⟩ 是動量的期望值，而 ⟨−∂V/∂x ⟩ 是力函數
的平均值。
證明：
其中
由薛丁格方程，有
其中
即
得證。
這個結果表明，在量子體系中力學量的期望值的變化遵從經典定律，它是埃倫費斯特定理（Ehrenfest’s theorem）的一種特殊形式（在力學量隨時間的演化我們將推導）。這個定理意味著，由量子行為向經典退化的一個途徑是取力學量的期望值。
2.5.4 力學量在任意態中的平均值
2.5.4.1 分立譜
在厄米算符的本徵函數的正交性和完備性的討論中，我們知道，若ψ1(x), ψ2(x), · · · , ψn(x), · · ·是厄米算符Fˆ 的歸一化本徵函數，相應的本徵值為λ1, λ2, · · · , λn, · · · 它們滿足本徵方程F ψˆn(x) =λnψn(x)，則本徵函數服從正交關係式
一定要對完備性，要有深刻理解。而任一連續函數 f(x) 可以按本徵函數系 {ψn(x)} 展開為
其中，展開係數
是復常數。現在我們考查展開係數 cn 的物理意義。設 f(x) 已經歸一化，利用 ψn(x) 的正交關係，有
由這個結果可以看出，|cn|2 具有概率的意義。先考慮一個特殊情況，如果 f(x) 是算符 Fˆ 的某一個本徵態，如 f(x) = ψN (x)，則上式右邊的求和中除 |cN |2 = 1 外，其餘都等於零。在這種情況下測量力學量 F，必定得到確定的結果 λN。一般情況下，c2n 表示任意態 f(x) 中發現本徵態 ψn(x) 的概率（體系處於本徵態 ψ1(x)，ψ2(x)…，ψn(x)，…的概率之和為 1）。換言之，|cn|
2 表示在 f(x) 態中測量力學量 F 得到本徵值 λn 的概率。由此，cn 通常被稱為「概率幅」，這是量子力學中一個非常重要而有趣的概念。測量到的都是本徵態。每次對量子系統測量只能測到本徵態 n 的本徵值 λn，但是測到的概率為 |cn|2，而多次測量的平均值為
基於上述討論，我們引進有關力學量算符表示的另一個基本假設：量子力學中表示力學量的算符 Fˆ 是厄米算符，它們的本徵函數構成完備集。當體系處於任意波函數 f(x) 所描述的狀態時，力學量 F 沒有確定的數值，而是有一系列可能的值，這些值就是算符 Fˆ 的本徵值λ1, λ2, · · · , λn, · · · 測量力學量 F 得到本徵值 λn 的概率是 |cn|2。這樣一來，力學量 F 在任意態f(x) 中的平均值便是
它具有統計平均的形式，可以一般性的簡化為
證明：事實上，我們有
現在我們可以看出，力學量 F 在任意態 f(x) 中的統計平均值就是算符 Fˆ 在這個態中的期待值。利用上式可以直接從算符 Fˆ 和體系所處的狀態 f(x) 得出力學量 F 在這個狀態中的平均值。如果體系的狀態 f(x) 就是算符 Fˆ 的一個本徵態 ψn(x)，則給出
這時力學量 F 的平均值就是確定的本徵值 λn。
2.5.4.2 連續譜
如果 Fˆ 的本徵值組成連續譜，則相應的本徵方程為
這時本徵值 λ 取連續變化的實數。本徵函數的正交關係式變為
任意態 f(x) 按本徵函數集 {ψλ(x)} 的展開則表示為對本徵值 λ 的積分
其中，c(λ) 為連續譜情況下的概率幅。為求 c(λ)，對（2.126）式兩邊同乘以
然後對 x 積分，並利用正交關係（2.125），得
即
它與分立譜情況下的概率幅有相同的形式。有
這個結果表示，|c(λ)|2 具有概率密度的意義。事實上，|c(λ)|2 是任意態 f(x) 中發現本徵態 ψλ(x)的概率秘密。換言之，它是在 f(x) 態中測量力學量 F 得到 λ 的概率密度。於是力學量 F 在 f(x) 態中的平均值為
在連續譜情況下，依然可以用式
我們現在考慮一種重要的特殊情況，即 Fˆ 為一維動量算符：
Fˆ = ˆpx = −iℏ∂/∂x，
動量本徵函數為
則概率幅為
是 f(x) 的傅立葉變換。可見在動量本徵函數情況下，概率幅 c(p) 本徵上是波函數 f(x) 的傅立葉變換。由連續譜的一般性結果可知，|c(p)|2 是動量概率密度。由此 c(p) 可以稱為動量空間的波函數，簡稱動量波函數。關於 |c(p)|2 是動量概率密度的結論，我們可以從傅立葉變換關係式Plancherel 定理去論證。Plancherel 定理表示為
設 f(x) 表示歸一化的量子力學波函數，則
利用（2.133），並注意到 ω = p/ℏ，得
可見 |c(p)|2 確實是動量概率密度。
2.5.5 埃倫費斯特定理
2.5.5.1 基於薛丁格方程的推導
埃倫費斯特定理（Ehrenfest’s theorem）描述是力學量的平均值隨時間的演化。
證明：直接利用薛丁格方程證明。
設一個量子體系在任意 t 時刻的狀態由歸一化波函數 ψ(t) 來描述，則任意一個力學量 A 的平均值為
等式兩邊對時間求導，有
利用薛丁格方程：
有
得證。
可以看出時間偏導的平均值 ⟨∂A/∂t ⟩與平均值的時間偏導d⟨A⟩/dt 是明顯不同的。而且平均值是如此重要，因為我們在實驗中測得的數據可以都是平均值。於是平均值隨不隨時間變化於是變得很重要。如果算符 A 與時間 t 無關（不顯含時間），則∂A/∂t = 0，於是力學量的平均值隨時間演化方程（2.137）式簡化為
這個方程稱為海森堡運動方程（Heisenberg motion equation）。
2.5.5.2 基於劉維爾—馮諾依曼方程的推導
可以利用劉維爾方程來計算一個不顯含時間的物理量 A 在混合態中的平均值 ⟨A⟩ 隨時間的變化
其中
這就是開頭講的恩費斯特公式。
2.5.5.3 位置、動量和力的平均值關係
利用埃倫費斯特定理
位置與動量平均值、動量與力的平均值的關係可以輕鬆求得。
證明：
（1）由
有
同理，y、z 方向也有同樣結果，於是
（2）由
有
得證。
可見量子力學中的平均值的運動方程
是符合牛頓力學方程的。
2.5.6 位力定理
位力定理（Virial theorem）描述的是當體系處於定態下與動能相關的平均值。
證明：
（方法一）利用埃倫費斯特定理證明。
設粒子處於勢場 V (r) 中，哈密頓量 H 表示為
考慮 ⃗r · ⃗p 的平均值隨時間的變化，利用埃倫費斯特定理，
有
對於定態，
有
式中
為粒子動能。
（方法二）利用變分法和標度變換證明。
作標度變換，令 ⃗r → ⃗r′ = λr，則 ⃗p = −iℏ∂/∂⃗r = λp′，於是動能為
注意到歸一化條件與標度變換無關，有
由變分原理，有
其中將 λ 看成變量，∂⃗r/∂λ = −⃗r′/λ2。當 λ = 1 時，r = ⃗r′，得
得證。
對於位力定理，存在很多特例。
2.5.7 赫爾曼—費曼定理
藉助於赫爾曼—費曼定理（Hellmann-Feynman thorem）可以得出關於各種力學量平均值的許多信息，而不必再利用波函數去進行繁瑣的計算。設體系的哈密頓量 H 中含有某參量 λ，即，H(λ)，En 為 H 的本徵值，相應的歸一化本徵函數為 ψn （n 為一組完備量子數），則
證明：由能量本徵方程
對參量 λ 取導數，有
左乘 ⟨ψn|，得
利用 ⟨ψn|H = En⟨ψn|，有
即
得證。