量子力學筆記8---波動力學-力學量的算符表示

2.6 力學量的算符表示

      量子力學的基本假定之一就是：量子力學的力學量用算符表示。詳細來說就是：如果量子力學體系的某個力學量（如能量、動量、角動量）用算符 Fˆ 表示，那麼當這個體系處於 Fˆ 的本徵態 ψ 時，這個力學量具有確定值，它就是本徵方程 F ψˆ = λψ 中的本徵值 λ。

2.6.1 算符的概念

（1）算符的定義

      所謂「算符」就是一種「運算符號」，如

都是微分算符，而

都是積分算符。就連

也都可以理解為算符。

（2）線性算符

      算符通常用 Fˆ 表示。如果 Fˆ 滿足

其中 a 和 b 是常數，f1 和 f2 是函數，則稱 Fˆ 為線性算符。按照線性算符的定義，上述算符中只有式（2.178）為非線性算符，其餘都是線性算符。

（3）算符的意義

      描述一個自變量 x 的變化用函數 y = f(x)，而描述一個函數 f 的變化則用算符

表示算符 Fˆ 作用於一個函數 f 給出另一個函數 g。從數學的觀點來看，算符就作用在一個函數上得出另一個函數的運算符號。換句話說，把函數 f 變為 g，用符號表示為 F fˆ = g，而運算符號 Fˆ 則稱為算符。具體來說，微分算符 Fˆ =d/dx 作用於函數 f = x2 + x + 1，給出另一個函數g = 2x + 1。又如，x 也是算符，它的作用是與函數 f 相乘，給出函數 g = xf。量子力學中的算符代表對波函數（量子態）的一種運算，而且往往是「乘」和「微分」這兩種。

2.6.2 算符的本徵方程

      通常情況下，當算符作用於一個函數，得出的是另一個函數。例如，微分算符 d/dx 作用於正弦函數 sin x，得到餘弦函數 cos x。但是存在一種特殊情形，即：算符 Fˆ 作用與一個函數 ψ，結果等於一個常數 λ 乘上這個函數本身，即

我們將這個方程稱為算符 Fˆ 的本徵方程，λ 稱為 Fˆ 的本徵值，ψ 是屬於 λ 的本徵函數，在量子力學中也被稱為本徵態。例如函數

就是算符 d/dx 的本徵函數，因為

但是

並不是 d/dx 的本徵函數，因為

算符作用函數後並沒有得到該函數本身乘以一個常數。

2.6.3 算符的函數

      一個函數 f(x) 在 x = 0 處可以展開成泰勒級數

其中

是函數 f(x) 對自變量 x 求 n 階導數，然後在 x = 0 取值。類似地，算符 Fˆ 的函數f(Fˆ) 也可以展開為

可見一個普通函數 f(x) 的展開式是與相應的算符函數 f(Fˆ) 的展開式的區別在於將變量 x 換成算符 Fˆ。

      例如，對於算符函數 f(ˆpx) = exp(apˆx)（a 是常數，pˆx = −iℏ∂/∂x 是動量算符），相應的普通函數為

      將展開式中的 x 換成 pˆx = −iℏ∂/∂x，得到

      如果算符 Fˆ 有本徵方程 F ψˆ = λψ，則

      例如，如果有 Hψˆ = Eψ，則

2.6.4 力學量的算符

      我們將動量平均值

中的 −iℏ∂/∂x 稱為動量算符，用符號 pˆ 表示

      動量算符的表達式是動量期望值的自然結果。而坐標算符就是坐標自身。在直角坐標系中它們的三維表示為

其中

      在經典力學中，一般力學量 F 是坐標 ⃗r 和動量 ⃗p 的函數，即 F = F(⃗r, ⃗p)，這樣該力學量在量子力學中的算符表示為

      它在 ψ(x, t) 中的期望值為

      將薛定鄂方程中的

      稱為系統的哈密頓量算符，用 Hˆ 表示，它描述的是系統的總能量，與經典力學中的哈密頓量相對應。同樣動能算符則為

三維的動能算符則為

2.6.5 表示力學量的厄米算符

2.6.5.1 厄米算符的定義

      所有力學量的數值都是實數。如坐標、動量、角動量、能量的數值都是實數。當量子體系處於一個算符的本徵態時，該算符的本徵值就是這個力學量的取值，這樣本徵值必須是實數。而厄米算符就具備這個性質，它的本徵值是實數。因此，量子力學中表示力學量的算符都是厄米算符。對於兩個任意函數 ψ 和 ϕ，如果算符 Fˆ 滿足下列等式

則稱 Fˆ 為厄米算符。其中 x 代表所有相關的變量，積分範圍是所有變化量的變化的整個區域。這裡我們不去數學上嚴格區分平均值和期望值。均值是抽樣以後計算出來的數值，而期望是總體分布的均值，理論上若抽取的樣本容量足夠大，均值會無限接近於期望！

（1）證明厄米算符的本徵值是實數。

證明：以 λ 表示 Fˆ 的本徵值，ψ 表示所屬的本徵函數，有

由厄米算符的定義：

取 ψ = ϕ，有

即

這表示厄米算符的本徵值是實數。

得證。

（2）驗證表示力學量的算符是厄米算符。

1）驗證坐標算符 x 是厄米算符

由於 x 是實數，有

2）驗證動量算符是厄米算符

其中 ψ 和 ϕ 在 x → ±∞ 等於零。

2.6.5.2 算符的厄米共軛

      算符 Fˆ 的厄米共軛用 Fˆ† 表示，定義如下

其中 ψ 和 ϕ 都是任意的。將算符的厄米共軛與厄米算符的定義相比較有

即，如果一個算符與它的厄米共軛相等，則該算符是厄米算符。這也可以作為厄米算符的另一種形式的定義。

2.6.6 厄米算符本徵函數的性質

2.6.6.1 正交性

(1) 相互正交的定義。如果兩函數 ψ1 和 ψ2 滿足關係式

      式中積分是對變量變化的全空間積分，則稱 ψ1 和 ψ2 相互正交。

(2) 厄米算符的屬於不同本徵值的兩個本徵函數相互正交。設 ϕ1, ϕ2, · · · , ϕn, · · · 是厄米算符Fˆ 的本徵函數，它們所屬的本徵值 λ1, λ2, · · · , λn, · · · 都不相等。

證明：利用本徵方程，設 F ϕˆk = λkϕk, F ϕˆl = λlϕl，且當 k ̸= l 時，λk ̸= λl。由於 Fˆ 是厄米算符，則本徵值為實數，即 λk = λ∗k，有

用 ϕl 右乘（2.207）式兩邊，並對變量的整個區域積分，得

用 ϕ∗k 左乘（2.207）式兩邊，並對變量的整個區域積分，得

由厄米算符的定義，有

即

由於，

有

得證。

2.6.6.2 完備性

      設厄米算符 Fˆ 的正交歸一本徵函數是 ϕn(x)，對應的本徵值是 λn，則任一函數 ψ(x) 可以按ϕn(x) 展開為級數

其中 cn 與 x 無關。本徵函數 ϕn(x) 的這種性質稱為完備性，或說 ϕn(x) 組成完全系。以 ϕ∗m(x)乘以等式兩邊，並對 x 的整個區域積分，有

即

係數 cn 可以由 ψ(x) 和 ϕn(x) 確定。

      以 ψ(x) 表示體系的狀態波函數，則 ψ(x) 可以用按算符 Fˆ 的全部本徵函數展開。設 ψ(x) 已歸一化，有

（1）力學量 Fˆ 在 ψ 態中的平均值表示為

證明：

（2）如果兩個算符 Fˆ 和 Gˆ 有一組共同本徵函數 ϕn，而且 ϕn 組成完全系，則算符 Fˆ 和 Gˆ 對易。

證明：由

有

      設 ψ 是任意波函數，由 ϕn 組成完全系，有

有

ψ 是任意波函數，所以，有

2.6.6.3 封閉性

      將（2.215）代入（2.213），有

重新整理，得

式中 ψ(x) 是一個任意連續函數，如果積分區間包含 x 點，有

上式描述了正交歸一函數集 {ϕn(x)} 的封閉性，它的成立只要求 ϕn(x) 是正交歸一的。

2.6.7 算符的函數

      考慮一個算符 Aˆ 和一個普通函數 f(x)，那算符的函數 f(Aˆ) 是什麼呢？設函數 f(x) 能在x = 0 處泰勒展開，有

我們可以用函數泰勒展開的觀點來定義一個算符的函數，有

      設 |aj ⟩ 是算符 Aˆ 的本徵矢，所屬的本徵值為 aj，有

      由算符函數的泰勒展開，有

利用本徵矢的正交歸一關係

      這就是算符的函數的嚴格定義。可見，f(Aˆ) 在 |aj ⟩ 表象中是個對角矩陣。

      我們可以通過么正變換將 f(A) 從一個給定表象變換到另個表象。新的基矢為

其中 Sjk ≡ ⟨βk|αj ⟩ 是新舊錶象變換的么正變換矩陣元。

只要知道算符的本徵值和本質態就可以計算它的函數。

      例如，對於如下哈密頓量

      時間演化算符為

       如果系統初態處於第 m 個本徵態，|ψ(0)⟩ = |m⟩，有

2.6.8 平移算符與指數型算符

      對於本徵值為 x 的本徵態 |x⟩，定義平移算符，T(a)，使得本徵態移動到另一個本徵態，其中本徵值增加 a，有

根據定義，平移算符的共軛算符則是使本徵態對應的本徵值減少 a，即

證明：

      其中用到本徵函數的正交性。於是，有

得證。

      比較（2.243）和（2.246）式，可見

      如果先向前平移再向後平移同樣的量，態是不發生改變的，這表明平移算符是么正算符5。即

      對於么正算符，可以寫成如下形式

      於是

即

其中 K 是厄米算符。

      可見平移算符是一種指數型算符，更一般的形式表示為

Tˆ 是算符 Aˆ 的指數型函數 f(Aˆ)，它作用于波函數通常會使得該波函數在時間或空間中移動。算符的函數由它的泰勒展開來定義，有

      最常見的指數型算符是時間演化算符 Uˆ，它是系統哈密頓量 Hˆ 的指數型函數，作用是使得波函數隨時間演化（移動時間）。如

關於時間演化算符，在矩陣力學中有更多的討論。

2.6.8.1 位置平移算符

      位置平移算符使得位置在空間上的移動，需要求得算符 K⃗ 的具體形式。設其本徵值為k，有

將平移算符作用其本徵態後投影到坐標上

      其中定義波函數為

做同樣的投影，只不過將 T(a) 換成 T†(−⃗a)，於是

比較兩式，有

      令 ⃗x = 0，a = −⃗y，得到是自由粒子波函數平面波形式的解

對比（2.3）式，k 為波矢，與動量的關係為

即前面討論的 K 算符為波矢算符。於是平移算符具體形式為

導出動量矩陣元   為了簡便只考慮一維的情況，平移算符為

對上式左右兩邊求導，並令 a = 0，得

於是

這就用平移算符表示了動量算符。坐標表象下的動量矩陣元可以寫為

導出動量算符   利用平移算符可以直接推導出坐標表象下的動量算符。首先考慮下 δ 函數的導數的意義。將 δ′(x − y) 作用於任意函數 f(x)，並做分部積分，有

其中邊界項為 0，因為 δ(x − y) 在邊界上是為 0 的。很明顯，δ 函數的導數作用於任意函數 f(x)能得到該函數在特定點 y 的導數 f′(y)。考慮動量算符 P 在坐標表象下作用於一個波函數，有

即坐標表象下動量算符為

2.6.8.2 轉動算符

      類似位置平移算符，我們也可以通過角動量算符定義轉動算符。例如

使得本徵態關於 x 軸轉動 ϕ 角度。