量子力學筆記5---波動力學-波函數

2.2 波函數

2.2.1 波函數的統計詮釋

      波函數 ψ(r, t) 的物理意義是什麼？圍繞這個問題，歷史上曾有兩種不同的觀點。薛定鄂認為：「波函數」就是通常意義上的經典波。以玻爾為首的哥本哈根學派則有完全不同的解釋，他們認為：「波函數」表徵「概率波」。經過多年的深入探討，概率波觀點逐步被普遍接受。而最充分、最細緻、最客觀地論述波函數統計解釋的是德國科學家玻恩，終於在概率波概率提出 28 年後 1954 年獲得了諾貝爾物理學獎。玻恩（Born）的統計詮釋是：波函數在某一時刻在空間中某一點的強度（振幅絕對值的平方）與在這一點中找到粒子的概率成正比。換句話說，波函數的強度 |ψ(r, t)|2 表示任意 t 時刻粒子在空間 ⃗r 處的單位體積中出現的概率。

2.2.2 概率流守恆定律

      與牛頓方程不同，概率流守恆定律自動地包含在薛丁格方程之中。量子力學中，由于波函數ψ 的統計解釋，ρ(r, t) = ψ∗(r, t)ψ(r, t) 代表 t 時刻在 ⃗r 處的概率密度，由薛丁格方程出發，可導出概率流守恆定律。概率密度隨時間的變化率為

由薛丁格方程，

有

代入（2.18）式，得

於是，有

令

稱其為概率流密度。於是有

這就是概率流守恆定律。在量子力學中，概率流守恆是波函數統計解釋和薛丁格方程的推論。概率流守恆定律表明：在非相對論量子力學中，一般說來，粒子既不能產生，也不會湮滅。體系的總粒子數守恆。粒子必然會在全空間出現。這是個必然事件，概率為 1。

2.2.3 波函數的歸一化

      波函數的統計解釋告訴我們：|ψ(r, t)|2 是 t 時刻在點 ⃗r 找到粒子的概率密度。所以 |ψ(r, t)|2的全空間積分必須為 1，即

這很好理解，既然粒子存在於空間中，在整個空間找到它的概率當然是 100%，即等於 1，數學表述就是上式了。如果

A 是常數，我們可以令

因為ψ 乘以一個常數仍是薛丁格方程的解，這就是歸一化過程。A 被稱為歸一化常數（normalization constant）。可見這裡的概率分布是相對概率分布，ψ(r) 與 Cψ(r)（C 為常數）所描述的相對概率分布是完全相同的。例如，在空間點 ⃗r1 與點 ⃗r2 的相對概率，波函數為 Cψ(r) 情況下，是

與波函數為 ψ(r) 情況下的相對概率完全相同。即 Cψ(r) 與 ψ(r) 所描述的概率波是完全一樣的。所以，波函數由一個常數因子的不定性，在這一點上，概率波與經典波（聲波、水波、彈性波等）有本質的差別。經典波的波幅若增加一倍，則相應的波動的能量將為原來的 4 倍，因此代表了完全不同的波動狀態。這一點是概率波與經典波的原則性區別。概率波有歸一化的概念，而經典波則根本談不上什麼「歸一化」。由於是相對概率，波函數的歸一化與否，並不涉及概率分布的變化。

歸一化條件表明波函數 ψ(x, t) 是平方可積函數，即

是有限的，這就要求波函數滿足

2.2.4 波函數的歸一化不隨時間改變

      假設在 t = 0 時刻我們對波函數歸一化了。那麼之後隨著時間的推進、波函數的演化，波函數將保持是歸一化的。因為在之後的時刻波函數如果不是歸一化的，我們對其再次歸一化又會得到一個歸一化係數，也就是說歸一化係數是時間 t 的函數，這樣就不是薛定鄂方程的解了。波函數的歸一化不時間改變表述為數學形式就是

如何證明呢？

（1）從物理的觀點來看，波函數的歸一化不隨時間改變應該說是玻恩統計詮釋的內在要求。波函數的統計詮釋告訴我們：|ψ(r, t)|2 是 t 時刻在點 ⃗r 找到粒子的概率密度。所以 |ψ(r, t)|2 的全空間積分必須為 1，即滿足歸一化條件

這裡隱藏的條件是時時刻刻必須滿足歸一化條件。否則波函數統計解釋就無意義了，因為一旦某時刻不能歸一化為 1 了，這表明這時刻有一定的概率全空間找不到這個粒子，這與這個粒子存在於這個空間中的事實不符。也就是說波函數的歸一化

必須與時間無關，即

與時間無關，也就是說如果在 t = 0 時刻波函數 ψ 是歸一化的，則在之後的時間裡都是歸一化的。

（2）從數學的觀點來看，可以直接利用薛定鄂方程從數學上證明。為了簡便，考慮一維情形，有

證明：把對時間的微分寫入到積分中

等號左邊，

是僅關於時間 t 的函數（變量 x 被積掉了），所以用全微分 d/dt。等號

右邊，|ψ(x, t)|2 是關於 x, t 的多元函數，所以用偏微分 ∂/∂x，且有

由薛丁格方程

可以得到

代入（2.31）式，有

對其積分，得

ψ 是 x、t 的函數，這裡將 ψ(x, t) 縮寫了。像通常的定積分一樣，將 x = +∞、x = −∞代入，由於 ψ∗(x = ±∞) = 0、ψ(x = ±∞) = 0，這是因為波函數在無限遠處為 0，所以

      這裡主要是∂ψ/∂x 有些彆扭，但這不影響，也說明下，是指的是函數

∂ψ/∂x 在 x = +∞ 的值，

得證。

（3）薛丁格方程為波函數歸一化條件提供了必要的理論基礎。更一般性的證明可以通過概率流守恆得到。

證明：利用概率流守恆定律，有

當體積 V → ∞，即拓廣到全空間後，對於任何滿足平方可積條件的波函數，當 r → ∞ 時，ψ → ∞時，ψ → ∞ 至少應比

快，有：

於是，有

即

是個與 t 無關的常數，從而保證了歸一化條件，得證。

（4）特殊情形，如果 ψ1 與 ψ2 是薛定鄂方程的兩個解，則

與時間無關。

證明：

全空間積分

得證。

2.2.5 波函數的性質

      由於概率密度和概率流密度應當連續，所以波函數 ψ 在其變量變化的全部區 域內必須是有限的和連續的。此外，由於 ρ ≡ |ψ|2 表示粒子出現的概率，它應是坐標和時間的單值函數，這樣才能使粒子的概率在時空點 (x, t) 取單一的確定值。綜上所述，波函數在其變量變化的全部區域內必須滿足三個條件：單值性、有限性和連續性。這三個條件稱為波函數的標準條件。它們在求

解具體的量子力學問題中扮演了非常重要的角色。