原題
原題：已知函數f(x)=lnx+λ(1/x－x)(λ∈R).
⑴當x>1時，不等式f(x)<0恆成立，求λ的最小值；
⑵設數列｛an｝的通項公式an=1/n(n∈N+)，其中前n項和為Sn，證明：S(2n)－Sn+an/4>ln2.
這道題的第二問看起來和已知和第一問都沒有聯繫，那麼幹嘛還要把這第二問放在這呢？
其實將第二問放在這裡的目的是為了降低第二題的難度，因為要想解決第二問要藉助第一問的結論，也就是說第一問結論是在變相地給出了第二問的提示。
第一問
第一問是當x>1時，不等式f(x)<0恆成立，求λ的最小值。
這道題是一個恆成立的問題，對於這樣恆成立問題又出現求字母的最小值，一般都是將該字母單獨表示出來，再求字母另一側的最大值或者最小值來求的該字母的最大值或者最小值。
然後這道題這樣做卻行不通。
誤區：
根據第一問將問題轉化為不等式lnx+λ(1/x－x)<0在x>1上恆成立，求λ的最小值？
因為x>1，所以1/x－x<0，所以該問題又轉化為λ>－lnx/(1/x－x)在x>1上是恆成立的，求λ的最小值。
設g(x)=－lnx/(1/x－x)，所以只需要求出g(x)的最大值即可。
對g(x)求導得到g＇(x)=(－x^2+x－1)/x^2(x－1/x)^2，（x>1）.
因為y=－x^2+x－1是一個開口向下且判別式△=1－4<0的數，所以－x^2+x－1是恆小於0的數，x^2(x－1/x)^2是恆大於0的數，g＇(x)<0恆成立，所以g(x)在x>1上是一個單調遞減的函數。
所以當x趨近於1的時候，g(x)取最大值，即當x=1時，λ取最小值。
但是這種方法是錯誤的，因為當x=1時，g(x)就沒有意義，所以這樣求不能求出λ的最小值。而原題中定義域中也是包含x=1的，這也變相的改變了原題的定義域。
所以不能直接根據不等式lnx+λ(1/x－x)<0表示出λ的方法求λ的最小值。
要用分布討論的方法來求λ的最小值
該方法是根據函數f(x)的導數與0的大小關係和λ的範圍來判斷函數f(x)是否小於0。
對f(x)求導得到f＇(x)=(－λx^2+x－λ)/x^2.
因為x^2>0，所以只需要判斷－λx^2+x－λ與0的大小關係即可。
當λ>0時，即方程y=－λx^2+x－λ開口向下，此時的方程還有兩種情況，即該方程有根和無根的情況。
①當λ>1/2，判別式△=1－4λ^2<0，此時方程－λx^2+x－λ=0無解，且方程y=－λx^2+x－λ開口向下，所以f＇(x)<0恆成立，所以函數f(x)在x>1上單調遞減函數。
又因為f(1)=0+λ(1－1)=0，所以此時f(x)<0在x>1恆成立，滿足題意。
②當λ=1/2時，判別式△=1－4λ^2=0，此時方程y=－x^2/2+x－1/2=－1/2（x+1）^2有一個根，即在對稱軸x=1處y=0，又因為該方程開口也向下，所以f＇(x)<0在x>1上恆成立，所以函數f(x)在x>1處是單調遞減函數。
又因為f(1)=0，所以當λ=1/2時，函數f(x)<0在x>1上恆成立，滿足題意。
③當0<λ<1/2時，判別式△=1－4λ^2>0，此時方程－λx^2+x－λ=0有兩個不等實根，即x1=(1－√(1－4λ^2))/2，x2=(1+√(1－4λ^2))/2。
因為此時該方程y=－λx^2+x－λ開口向下，所以該方程在x1<x<x2上應該是大於0。
又因為(1－√(1－4λ^2))/2<1<(1+√(1－4λ^2))/2，所以在當x在區間1<x<(1+√(1－4λ^2))/2上時，函數f(x)>0，所以此時函數f(x)<0在x>1上時不恆成立，即不滿足題意。
當λ≤0時，又因為x>1，所以1/x－x<0，所以λ(1/x－x)≥0恆成立，所以函數f(x)=lnx+λ(1/x－x)≥lnx，而對數函數lnx在x>1上時是恆大於0的，所以不滿足題意。
綜上所述當λ≥1/2時，函數f(x)<0在x>1上是恆成立的，即λ的最小值為1/2.
第二問
第二問是給出數列an的通項公式，給出Sn，證明：S(2n)－Sn+an/4>ln2.
因為an=1/n（n∈N∈+），所以Sn=1+1/2+1/3+…+1/n，S(2n)=1+1/2+1/3+…+1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(2n－1)+1/2n。
所以有
S(2n)－Sn+an/4
=1+1/2+1/3+…+1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(2n－1)+1/2n－（1+1/2+1/3+…+1/n）+1/4n
=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(2n－1)+1/2n+1/4n
所以要想證明S(2n)－Sn+an/4>ln2成立，只需證明1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(2n－1)+1/2n+1/4n>ln2成立即可。
要想證明「1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(2n－1)+1/2n+1/4n>ln2」結論成立，就要從第一問出發進行求解。
由第一問可知當x>1時，有lnx+1/2(1/x－x)<0恆成立，所以有lnx<－1/2(1/x－x)。
因為x>1，所以可設x=1+1/n (n∈N+)，所以有ln(1+1/n)<－1/2[1/(1+1/n)－(1+1/n)]=(2n+1)/2n(n+1)。
即有ln(n+1)－lnn=1/2n+1/2(n+1)成立。
將n換成n+1，得ln[(1+n)+1]－ln(n+1)<1/2(n+1)+1/2[(n+1)+1]成立，
即ln(n+2)－ln(n+1)<1/2(n+1)+1/2(n+2)，
以此類推有
ln(n+3)－ln(n+2)<1/2(n+2)+1/2(n+3),
…
ln(2n)－ln(2n－1)<1/2(2n－1)+1/4n。
上述各式相加得到ln(2n)－lnn<1/2n+1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n－1)+1/4n，即1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n－1)+1/2n+1/4n>ln2.
所以有S(2n)－Sn+an/4>ln2.
總結
當題中使用常規的方法不能解決問題時，要及時的轉化思想。
當題中給出的問題與已知和前一問或者前兩問沒有相關性且該題無法證明出來的時候，就要從前兩問得出的結論入手去挖掘該問的一些條件。
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