題1. 如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD，點O是四邊形ABCD內一點，且OA＝OB＝OC，求證：四邊形OBCD是菱形。
證明：∵OA＝OB＝OD
∴點A、B、D在以點O為圓心，AB為半徑的圓上，如圖所示，連接OC.
∴∠BOD＝2∠BAD
∵∠BCD＝2∠BAD
∴∠BCD＝∠BOD
∵OB＝OD，BC＝CD，OC＝OC
∴△OBC≌△ODC
∴∠BOC＝∠COD，∠BCO＝∠DCO
∴∠BOC＝∠BCO
∴BO＝BC
即 BO＝BC＝CD＝DO
∴四邊形OBCD是菱形.
題2. 如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，點D在BC的延長線上，AD＝4，求BD·CD.
【分析】首先，我們結合圖形和要解決的問題：求BD·CD，應該立刻能聯想到割線定理。
又因為AB＝AC，所以，點B和C一定在以A為圓心，AB為半徑的圓上。
那麼，線段BD就是⊙A的割線，然後再找到另一條割線與已知條件聯繫起來，就利用圓的割線定理可完美解決問題。
解：如圖，以點A為圓心，AB為半徑作圓⊙A，交AD於點F，延長DA交⊙A於點E.
∵ 點B、C、E、F都是圓上的點
∴ AE＝AE＝AB＝2
∴ DF＝AD-AF＝4-2＝2，
DE＝AD+AE＝4+2＝6
根據圓的割線定理，可得：
BD·CD＝DE·DF＝2×6＝12
【總結】解決數學幾何題絕對大部分情況都需要添加輔助線，而輔助線的好與壞直接關係到解題的質量和速度，好的輔助線往往能起到事半功倍的效果，能大大提升學習者的學習興趣和積極性，使人能時常感到滿滿的成就感。
針對本題，聰明的，你，還有更好的解答方法嗎？歡迎在評論區留言，看誰的方法更簡單，謝謝！
題3. 如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，AD＝CD＝5，AB＝7，BC＝1，求BD的值。
託密勒定理介紹：圓的內接凸四邊形兩對角線的積等於兩對邊的積的和。
解：方法一
如圖，連接AC
∵ ∠CDA＝90°
∴ AC^2＝AD^2+CD^2＝50
∴ AC＝5√2
∵ ∠ABC+∠CDA＝180°
∴ 四邊形ABCD是圓的內接四邊形，如圖，
根據託密勒定理，得：
AC·BD＝AD·BC+AB·CD
∴ BD＝(AD·BC+AB·CD)/AC＝4√2
方法二
如圖，過點D作DE⊥BD，交BA的延長線於點E，垂足為D.
∵ ∠BDE＝∠ADC＝90°
∴ ∠ADE＝∠CDB
在四邊形ABCD中，
∵ ∠ABC+∠CDA＝180°
∴ ∠BAD+∠C＝180°
∴ ∠DAE＝180°-∠BAD＝∠C
∵ AD＝CD
∴ △DAE≌△DCB（ASA）
∴ DE＝DB，AE＝BC＝1
在Rt△BDE中，
BE＝AB+AE＝7+1＝8
BD^2+DE^2＝BE^2
即 BD^2＝32
∴ BD＝4√2