正方體中P、Q是BC和CC1中點,截面APQ是什麼圖形?一眼看出的妙招

2020-12-06 玉w頭說教育

原題

原題：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為稜BC和CC1的中點，則下列說法正確的是？

A.BC1∥平面AQP

B.平面APQ截正方體所得截面為等腰梯形

C.A1D⊥平面AQP

D.異面直線QP與A1C1所成的角為60度

圖一

正方體是在立體幾何中比較基礎的圖形，一般我們無法理解的圖形都可以將其放入正方體中，便於增加我們的立體感和空間想像能力。

所以對於正方體的使用是比較普遍的，所以為了更好地使用正方體，我們要記住正方體中常見的結論。

下面就通過各種選項來說明其存在的一些常見的結論。

選項A

選項A是BC1∥平面AQP。

這個選項沒什麼難度，一眼就可以看出答案。

因為P，Q分別為稜BC和CC1的中點，所以PQ∥BC1，又因為PQ在平面APQ內，而BC1在平面APQ外，所以BC1∥平面AQP。

在正方體中只要與直線PQ平行的直線且該直線和平面APQ沒有交點，則該直線就和面APQ平行。

選項B

選項B是平面APQ截正方體所得截面是什麼樣的圖形？

圖二

從圖二來看，很難知道面APQ截正方體的截面是什麼樣的圖形，尤其對於初學者來說更是無法想像出來其截面是什麼。

但是我們要記住一點：與直線PQ平行的直線不與面APQ平行就是在該平面APQ內。

如果與直線PQ平行的直線與平面APQ相交且不在該平面內的話，則直線PQ與該直線就變成了異面直線，出現了矛盾，所以只要與直線PQ平行的直線且與直線PQ所在地面有交點的話，則該直線就在該平面內。

連接BC1和AD1，因為P，Q分別為稜BC和CC1的中點，PQ∥BC1，又因為AD1∥BC1，所以PQ∥AD1。

又因為AD1與面APQ相交於A點，所以直線AD1在面APQ內。

連接D1Q，則面AD1QP就是面APQ和正方體的截面。

因為△ABP≌△D1C1Q，所以AP=D1Q，且PQ∥AD1，所以AD1QP是等腰梯形，即面APQ截正方體的截面是等腰梯形。

所以選項B是正確的。

如果不知道上述的這一點，即「與直線PQ平行的直線不與面APQ平行就是在該平面APQ內」，也可以通過變化圖形來判斷。

在變化圖形的時候，要記住：將要延伸的面朝上或者朝外，即容易看到的方向。

圖三

像圖三的圖形就很好看出面APQ的延伸方向，便於我們對選項B的判斷。

所以正確的展示展示圖形才是妙招。

選項C

選項C是A1D⊥平面AQP。

在正方體中有：A1D⊥面ABC1D1，B1C⊥面ABC1D1，AD1⊥A1B1CD，B1⊥A1B1CD。

如果A1D⊥平面AQP的話，則平面AQP∥面ABC1D1，因為平面AQP和面ABC1D1有公共交點，所以與之相矛盾。

所以選項C是不正確的。

選項D

選項D是異面直線QP與A1C1所成的角為60度。

一般要求異面直線的夾角時，都是將其中一條直線通過平移，即找到該直線的平行直線，使這兩條直線相交，從而求出異面直線的夾角。

在正方體中各個面的對角之間有三種關係：相互平行、相互垂直、相交成60度。

相鄰面上的對角線所成的夾角是成60度的，不相鄰的對角線所成的夾角是平行或者垂直。同一面上的對角線垂直。

因為PQ∥BC1，又因為BC1和A1C1都是正方體不同面的對角線，所以異面直線QP與A1C1所成的角就是直線BC1與A1C1所成的角。

又因為直線BC1和直線A1C1所在的面是相鄰的，所以它們所成的角是60度。

即異面直線QP與A1C1所成的角為60度，所以選項D是正確的。

綜上所述該題的答案是ABD。

總結

正方體中存在的知識點很多，在做題中需要我們進行總結和記錄。

對於初學者或者是立體感不強的同學，在沒有立體模型的時候，可以畫出不同方向上的圖形，去觀察在不同方向上的某一圖形的變化。

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