從偶極矩到四極矩

2021-01-13 物理擷趣

相信學過一點電磁學知識的讀者都聽說過偶極矩——用來描述一個分子的極性或極化程度。偶極矩的數值等於正電荷中心到負電荷中心的距離乘電荷量，即

不過，這些都還不夠。

一個分子是由很多組偶極形成的，當對應偶極恰好抵消或和偶極為

這個電場就是由苯分子的四極矩產生的。在之前的文章計算遠場電勢的小技巧和電荷的微移影響遠場的電勢嗎？（這兩篇文章也是本人寫的，只是發在另一個公眾號）中我們對偶極子進行了簡單的介紹。在本文將對四極子進行簡單介紹。

本文中部分公式較長，請左右拖動查看

1 電四極矩

在之前的文章中，我們僅僅將

上式中

令

則(1)式即

可能有讀者會對上式中偶極項前的負號感到疑惑，這是由於我們的函數在處的偏差實際上是

按照(6)式定義的四極矩是對稱張量，並且看起來有6個獨立分量。但實際上，四極矩只有5個獨立分量。下面我們來證明這一點。

容易證明

即

因此(6)式也可以改寫成：

在(10)式的定義下，容易證明

這又引入了一個約束條件。因此四極矩實際上只有5個獨立分量。

2 外場中四極子的能量

設外電場的電勢分布為

假設電荷分布於小區域內，選取適當的點為原點，

代入(12)式可得

3 一道例題

題:均勻帶電的長橢球長軸為

解:取

電荷體密度為

由(12)式，其偶極矩為

由體系對稱性易得

因此

令

因此

則四極矩產生的勢為

由於體系的對稱性，偶極矩應為

因此遠場的電勢保留至四級項為：


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