數列bn和an的關係2^bn=a1a2a3……an求bn?重在指數和對數的轉化

2021-01-11 玉w頭說教育

原題

原題：等比數列「an」的首項為2，數列「bn」滿足2^(bn)=a1a2a3…an，b4=b3+4，則bn=?

圖一

這道題的主要難點就在於給出的式子2^(bn)=a1·a2·a3…an中的bn是一個指數的冪指數，讓很多同學不知道該如何入手。

那這道題該如何解決呢？關鍵就是改變bn是冪指數的事實，將其轉化。將冪指數表示出來，就要用對數來轉化。

用對數來改變bn是冪指數的形式

對數函數和指數函數是一對反函數，它們可以相互轉化。

為了保證等式2^(bn)=a1·a2·a3…an不變，我們可以將式子2^(bn)=a1·a2·a3…an等號左右兩邊都放入對數之中。

又因為式子2^(bn)=a1·a2·a3…an中的指數涉及了底數是2的情況，所以可以將該式子放入以底數為2的對數之中。

即log(2^(bn))=log(a1a2a3…an) （註：這裡的對數都是以2為底對數！可能不顯示。）

所以有bn=log(a1·a2·a3…an) 。

這樣我們就將bn從冪指數的形式轉化出來了。

圖二

之後再根據給出的b4=b3+4列出式子和an是等比數列的條件，就可以求出bn通項公式。

求出bn的通項公式

因為an是等比數列且a1=2，設an的公比為q，則有an=2·q^(n－1)，即a2=2·q，a3=2·q^2，a4=2·q^3。

所以b3=log(a1·a2·a3)=log(2·2q·2q^2)，b4=log(a1·a2·a3·a4)=log(2·2q·2q^2·2q^3)，這裡的log均是以2為底的對數。

又因為b4=b3+4，則有log(2·2q·2q^2·2q^3)=log(2·2q·2q^2)+4，所以有log(2^4·q^6)=log(2^3·q^3)+4，進一步整理log2^4+logq^6=log2^3+logq^3+4，再次整理4+6logq=3+3logq+4，解得logq=1，所以q=2（註：這裡的log是以2為底的對數！）。

所以an=2·2^(n－1)=2^n。

所以bn=log(a1·a2·a3…an)=log(2×4×8×…×2^n)=log2^(n(n+1)/2)=n(n+1)/2，所以bn=n(n+1)/2（註：這裡的log是以2為底的對數！）。

圖三

總結

當數列中出現指數或者對數時，我們都可以根據指數和對數的轉化將需要表示的數列表示出來，然後再進行計算。

該題比較簡單，但是重在方法，希望大家喜歡！

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