求數列通項?不簡單!不會這樣構建真解不出來,一種構建的新模型

2021-01-09 玉w頭說教育

01原題再現

[全國二卷理科題]已知數列｛an｝和｛bn｝滿足a1=1，b1=0，4a(n+1)=3an－bn+4，4b(n+1)=3bn－an－4.

求數列｛an｝和｛bn｝的通項公式。

圖一

該題雖然只是求數列｛an｝和｛bn｝的通項公式，但是給出的遞推公式卻和以往不同。

這次給出的遞推公式不再是一個數列之間的關係，而是兩個數列交織在一起的關係。

這樣的遞推公式該怎麼求出數列的｛an｝和｛bn｝的通項公式呢？

下面我們就拉詳細的說明。

02該題的思路解析

該題的思路解析：

對於給出這樣的遞推公式，我們不能在一個數列一個數列的求通項公式了，我們需要求出數列an和bn的整體.

即構建出現的數列的形式，先將這個新的數列的形式的通項求解出來，然後再求解出單個的數列通項。

圖二

但是得出一個關於數列an和bn的整體數列，就相當於是知道這兩個數列的和，去求這兩個單獨的數列，即x+y=2，求x和y型，一個方程求兩個未知量，四求不出來的。

怎麼辦呢？

需要構建出兩個關於數列an和bn整體的數列模式。

這樣就相當於兩個方程兩個未知量的形式，就可以根據二元一次方程組的形式求出數列an和bn的通項公式。

03該題的具體做法

第一步，求出數列an+bn的通項公式——第一個構建。

因為數列an和數列bn滿足4a(n+1)=3an－bn+4，4b(n+1)=3bn－an－4，將上述的兩個相加，則有

4a(n+1)+4b(n+1)=3an+3bn－bn－an，

整理得到

4[a(n+1)+b(n+1)]=2(an+bn)

即a(n+1)+b(n+1)=1/2(an+bn)。

因為a=1，b1=0，則a1+b1=1.

將an+bn看成一個整體，則數列｛an+bn｝是以首項為1，公比為1/2的等比數列。

圖三

根據等比數列的通項公式，則有an+bn=(1/2)^(n－1)。

綜上所述，數列｛an+bn｝的通項公式為an+bn=(1/2)^(n－1)。

第二步，求出數列an－bn的通項公式——第二個構建。

因為數列an和數列bn滿足4a(n+1)=3an－bn+4，4b(n+1)=3bn－an－4，將上述的兩個等式相減，則有

4a(n+1)－4b(n+1)=3an－3bn+an－bn+8，

該式整理得到

a(n+1)－b(n+1)=an－bn+2.

因為a1=1，b1=0，則a1－b1=1.

將an－bn看成一個整體，則數列｛an－bn｝就是以1為首項，以2為公差的等差數列。

圖四

根據等差數列的通項公式，則有an－bn=2n－1.

綜上所述，數列｛an－bn｝的通項公式為an－bn=2n－1.

第三步，根據解二元一次方程的方法求出數列an和數列bn的通項。

由第一步和第二步可知，

an+bn=(1/2)^(n－1)①；

an－bn=2n－1②。

將①+②得到

an=(1/2)^n+n－1/2；

將①－②得到

bn=(1/2)^n－n+1/2.

圖五

綜上所述，數列｛an｝的通項公式為an=(1/2)^n+n－1/2；數列｛bn｝的通項公式為bn=(1/2)^n－n+1/2.

04總結

得出數列的通項公式一般的構建方式不一樣，但是沒中類型卻是需要我們掌握。

這種數列的構建類型是比較新穎的，值的我們記住。

一旦再出現類似的題時，我們也知道該如何構建。

該題見過了此構建類型是比較簡單，沒有見過的就不簡單。

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