多項式數列

舉個例子。

函數f(x)=3x+4是個多項式函數（一次函數），則an=3n+4是個多項式數列，其實它是個等差數列。

因此，我們有第一個顯而易見的結論：等差數列是一個多項式數列。

當然，多項式數列的範圍比等差數列大一些。

 

類比等差數列，我們也可以考慮多項式數列的公差。

設一次多項式數列an=3n+1，則，公差為常數3

數學佬說：猜數學遠比證明數學更重要。於是我猜到第二個結論：

n次多項式數列的前後項之差為n-1次多項式數列

（前後項是我非常快意的表達，規範的描述應該是：每一項與前一項的差）

 

如何求多項式數列的前n項和？

我們發現，多項式數列

於是，我們求和時逐項求和就可以了。

們會背的公式有：（被老師逼的）

更高次的……我考試的時候選擇放棄！

別介，到了數學佬這裡，還讓你選擇放棄，那是我的錯了。

你不看下去，絕對是看不起我，覺得我寫不出你能看懂的數學嗎？

我們看

是怎麼算的，然後把方法同樣推廣即可。

我們發現，這個計算過程其實利用了更高一次(n+1)的展開式，再疊加即可。

用同樣的方法，我們可以計算

再代入已知的公式化簡即可！

依次往高次算，雖然計算比較繁瑣，但真的可以算出我們需要的任意次求和公式。

也正因為這個計算比較繁瑣，我們高考只敢要求最多到二次。（就算不會推導，背也背下了對吧。）

競賽也很喜歡玩這個，當然就不會局限於二次啦。

為什麼考試和競賽都喜歡，因為這個解法看上去非常帥氣，用到了二項式定理，還用到了疊加法，計算量又大能淘汰許多人。

 

但是，氮素，數學佬極度不喜歡這個解法！因為這個解法除了考試能考倒考生外，毫無用處。

我有更漂亮簡潔的算法。

下面是數學佬表演的時間了。

我們已經知道，如果f(x)是n次多項式，則f(x+1)-f(x)是n-1次多項式（見前結論二）

搞定！問題轉化成求高一次的多項式函數即可，解方程即可搞定，計算量小好多。

是不是爽很多，用一個解方程替代複雜的求和符號，合算到不要不要。

別急著點「再看」哦，我還有更漂亮更簡潔的解法。

我們發現，多項式數列an的前n項和也是一個多項式數列，但次數更高一次而已，因此我們完全可以用待定係數法直接求出來！

簡單粗暴，直截了當，豈不是獨孤九劍！

什麼？你覺得這個方程不好解，計算量比上一個解法只多不少。

好吧，我輸了。

拜託你點個「再看」。

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