高階等差數列

2021-03-01 數學佬
↑↑相關文章在這裡↑↑

眾所周知，一個數列的前後兩項之差為常數，則稱這個數列為等差數列。如

1,2,3,4⋯

3,5,7,9,⋯

2,2,2,2,⋯

以上都是等差數列。

我們偶爾也會見到這樣的數列：雖然它本身不是等差數列，但是它前後項的差卻是一個等差數列。如

數列：1,4,9,16,25,⋯

前後項之差：3,5,7,9,⋯

這個數列，雖然不是等差數列，但數學佬直覺認為它和等差數列有著千絲萬縷、說不清道不明的關係。

給它一個名詞吧，就叫二階等差數列。

再看一個例子，也是很簡單的。

數列5,17,35,59,89,⋯

前後項差：12,18,24,30,⋯

前後項差：6,6,6,6,⋯

數學佬就以這個數列為例，探討一下如何求二階等差數列的通項公式和求和公式。

其實解法很常見，就是疊加法而已。有了兩個二階等差數列的例子，我有一個很直觀的猜測。瞧啊

那麼，

是不是所有的二階等差數列都是二次函數？

是不是所有的二次函數都是二階等差數列？

那麼，

更高的，比如三階等差數列是不是就是三次函數？

答案是肯定的！你的猜測非常準確。

怎麼證明？呃，數學佬一點也不想證明。。。（顯然，行不？）

好吧，滿足一下大家的求知慾。

用數學歸納法證明如下，不想看證明的朋友可以跳過這一段。

證明是蒼白的，實例才是豐滿的。

我們還是拿前面的兩個數列來驗證。

驗證通過！

驗證通過！！second！

OK，小結一下：


k階等差數列的通項公式就是k次多項式

k階等差數列的通項公式為

我去，忘了探討高階等差數列的求和公式了，算了，俺數學佬懶得很，且聽下回分解。

如果覺得有趣，點個「在看」↓↓↓

相關焦點

  • 微積分之前奏1:高階等差數列的求和
    我們以下將要介紹的，是一種更為初等的方法，它是中國古代數學的一項傑出成就——高階等差數列的求和——的一個直接應用。5. 什麼是高階等差數列？現在我們來考慮一個更具一般性的問題：高階等差數列的求和。它將前面幾節考慮的問題作為特例包含進來。
  • 特殊數列之等差數列與等比數列
    特殊數列之等差數列等差數列是一種有特殊規律的數列，它的後面一項減去前面一項的差值是一個定值，其一般表示形式如下所示它的相鄰兩項具有統一性質的聯繫，其遞推關係為如果已知等差數列第1項，其第n項比第一項多出n-1個公差d，那麼其通項公式可表示為
  • [例題解析]等差數列與等比數列
    例1.等差數列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S13解：由求和公式解 設a1,a2…,an是公差為4的等差數列，則　 a12+a2+a3+…+an￡100,　 即　 例7.設等差數列的首項及公差均為非負整數，項數不少於3，且各項之和為972，這樣的數列共有多少個？解　 設等差數列首項為a，公差為d，依題意有
  • 關於等差數列的小技巧
    提到等差數列，我第一個反應就是求和公式，首相加末項乘項數除以二，這是我小學的時候記憶最深刻的，也就是下面這個表達式現在，我們具體來說一說等差數列。等差數列的證明有且僅有兩種，如下圖所示證明等差數列的兩種方式第一行，也就是定義：後一項減前一項始終為一個固定的常數。第二行，叫做等差中項，也是證明等差數列的一種方法。
  • 高考數學必考:等差等比數列
    數列是高中數學的重要內容之一，也是高考的必考考點。等差等比數列作為兩種很特殊的數列，歷年來一直都是高考考查的熱點內容。所以掌握數列對同學們來說非常重要，那麼如何快速掌握數列的相關知識，並且能夠靈活運用呢？
  • 等差數列知識點的匯總及公式的證明過程
    等差數列也是考試當中必不可少的內容，很多的公式和性質都是源自於等差數列的概念。這個概念需要注意的點就是：從第二項起和同一個常數。即：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等於同一個常數，那麼這個數列就叫做等差數列。
  • 行測技巧:巧用中項求和公式解等差數列
    在行測數量關係考察中，等差數列是一個常見的考點，因其涉及的公式較多，很多考生在遇到此類題目時常常不能選擇出最優公式因此走了很多彎路，今天中公教育專家給各位考生分享如何用巧中項求和公式解等差數列。一、 基本定義四、技巧總結：在題目表述中發現等差數列的描述，並且已知信息中涉及等差數列幾項之和時，可以優先考慮用中項求和公式求解。當項數為奇數項時，這幾項的平均數即中間項的值；對於每項均為整數的等差數列，無論項數的奇、偶，前n項和均可以考慮為兩個整數相乘的形式。現在大家還認為等差數列的題目難麼？
  • 省考中等差數列如何秒選
    同學們，國考筆試已經落下帷幕，回顧今年的數量關係，有一類題需要引起我們重視，就是等差數列。等差數列這一部分知識我們並不陌生，我們在上中學的時候就已經開始學習，但在行測考試中等差數列往往結合實際綜合考查我們的能力。
  • 等差數列等比數列前n項和公式總結
    高中數列在教師資格和教師招聘考試中都是非常重要的考點，關於數列的考題雖然表面看去變化多樣，但看其本質，可歸結為兩大類：求一個數列的通項an,求一個數列的前n項和，而解決這兩類題都少不了等差數列以及等比數列的求和公式。這篇文章就針對等差和等比數列求和公式給出推導和證明過程。
  • 等差數列與等比數列判定,利用數列基本性質,高考重點考題
    數列做為我們高中數學一塊非常重要的內容，並且數列的內容常常是利用各種公式的變換來求解數列的得數或是判定數列的性質，數列的考察往往比較的綜合，並且也有一定的難度，數列常常還可以作為載體，與函數解析式結合在一起進行考察，所以這也成了我們高考考題中的大熱題目，因為通過一道題便可以考察很多的數學知識點
  • 數列求和計算題中等差數列相關知識及公式運用講解
    上述的計算式就是一個等差數列，相鄰兩項的差值都為1 ，又稱它是一個公差為1的等差數列。1，2，3，4，5，6……99，100每一個數都稱為數列的項。從1到100，一共有100個數字。這個數列就有100個項。
  • 2020國考行測備考:等差數列問題的快速求解
    國家公務員行測考試頻道帶大家來看一下，2020國考行測備考：等差數列問題的快速求解。等差數列是省考國考的熱點題型，也是常見的計算類問題。此類問題並不難，關鍵在於熟練掌握等差數列的相關公式和性質，並能夠熟練的運用，下面我們總結一下等差數列的常用公式及性質，並以例題的形式講解如何加以應用。
  • 吳國平:要拿到高考數學數列的分數, 就要學會求等差數列及其前n項和
    數列作為高考數學重點內容，一直是高考數學的熱點和必考的考點，自然而然受到廣大考生的關注。在高考數學裡數列一般就涉及等差數列和等比數列相關知識內容，因此，今天我們就一起來簡單講講等差數列及其前n項的和相關的考點，進行分析，希望能幫助到大家。什麼是等差數列？
  • 日常生活中的數學建模 01:等差數列和等比數列
    城市中交通路線的平均長度：等差數列與堆壘求和；2. 估計商品的價位：等比中項與幾何平均；3. 住院病人給藥時間表的設計：等比數列求和與極限控制法。▌1.城市中交通路線的平均長度：等差數列與堆壘求和假設我們處在這樣一個城市裡：它的道路呈現為一個 n × m (n 行， m 列) 的方形網絡，網絡中的每個節點為一個公交站點，相鄰站點的間距為 L 。現在的問題是：從該城市中一個站點到另一個站點的平均長度為多少？
  • 出卷老師:高三數學等比數列+等差數列基礎過關練習,必考題型
    等差數列和等比數列是高中數學最為基礎的兩種數列類型了，許多複雜的數列壓軸題都是以這兩類題型作為基礎而改編的。如果說這些基礎內容都沒有理解的話，對於其他的難題就能難著手了。那麼，對於等差數列和等比數列，首先要記住它們的通項公式和定義，學會如何去求和。
  • 行測常用公式集錦二:利潤、等差和等比數列
    例6.一群羊中，每隻羊的重量數均為整數，其總重量為65公斤。 八、等差數列中的平均數 等差數列中，其平均數為：（首項＋末項）÷2 例8.某次對11名同學進行成績排名，發現最高分恰好是最低分的兩倍，後來發現某道題判錯了，改過後，11人的成績恰好成等差數列，且最高分最低分成績不變
  • 帶你一起探索數學世界,等差數列和等比數列的,求和運算方法分享
    在數學運算中，等差數列和等比數列的計算是最容易被搞混的，今天我來幫大家解決這個難題：分享一個快速進行等差數列和等比數列的求和計算的小妙招。一起來看一下吧。如何計算1+4+7+10+…+31+34——等差數列求和按一定次序排成一列的數被稱為數列。其中最具代表性的為等差數列。像這樣，相鄰兩項之差相等的數列即為等差數列。
  • 2020公務員考試行測數量關係:簡單計算之等差數列
    2020省考即將來臨，把握機會也許這次上岸的就是你，今天中公教育在此選擇大家經常放棄的數量關係專項裡非常簡單的知識點，講解一下計算問題裡的等差數列問題。等差數列大家都不陌生，等差數列是指從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數的一種數列，常用A、P表示。
  • 2021寧夏事業單位考試備考之數量關係:萬變不離其宗的等差數列
    分析：上述數列，從第二項開始，後一項與它的前一項的差等於相同的常數的一種數列。對於等差數列在中學時候其實我們就已經接觸過，在學習之前我們一起來回顧一下待會所需要的一些符號，所得的常數叫做等差數列的公差，用字母d表示，每一項常用am表示，下角標m代表的是數列當中的第幾項，如：第一項表示為a1 ,第二項表示為a2…，第n項表示為an;總的項的數量叫做項數，用n表示。
  • 萊因德紙草書pk周易,最早數列研究孰優,令人嘆為觀止
    在世界數學史上，對級數（數列）的討論具有悠久的歷史。中國、巴比倫、古希臘、埃及和印度等，都曾經研究過級數。在古老的《易經》一書中寫道：「易有太極，是生兩儀；兩儀生四象，四象生八卦」，實際上，這種分割，已經寓有數學中等比數列的思想。《周髀算經》裡就談到「七衡」（日月運行的圓周），七衡的直徑和周長都是等差數列。