#高中數學#
01高考原題再現
數列｛an｝滿足：a1+2a2+…+nan=4－(n+2)/2^(n－1)，n∈N+。
⑴求a3的數值；
⑵求數列｛an｝的前n項和Tn；
⑶令b1=a1,bn=T(n－1)/n+(1+1/2+1/3+…+1/n)an(n≥2)，證明：數列｛bn｝的前n項和Sn滿足Sn<2+2㏑n。
該題的前兩問是比較簡單的，之所以給出前兩問是因為該出題者要告訴我們求數列時的方式方法。
第一問給出的原因：從計算出數列的每一項的結果就推測數列的規律，從而得出數列｛an｝的通項公式。
第二問給出的原因：在沒有數列的遞推公式的時候，求解數列的通項公式的方法。
而第三問考察的是積累，主要積累一些做題的方法和常用不等式的使用。
該題第三問中證明該不等式Sn<2+2㏑n，主要是通過媒介法和重要不等式在數列中的使用。
下面我們就講解題的過程中詳細的說明解題的方法和重要的知識點。
02第一問的解答
第一問是求數列｛an｝中a3的數值，只需要給n賦值計算即可，主要是為了得出數列｛an｝的前三項結果，發現數列｛an｝的可能存在的通項，也是第二問的一個提示。
令n=1時，a1=4－3/1=1；
令n=2時，a1+2a2=4－4/2=2，a2=1/2；
令n=3時，a1+2a2+3a3=4－5/4=11/4，a3=1/4.
則a3的數值為1/4.
03第二問的解答和方法
第二問求的是數列｛an｝的前n項和Tn。
要想求出數列｛an｝的前n項和Tn，首先就是要求出數列｛an｝的通項公式，再根據數列｛an｝的通項公式求出數列｛an｝的前n項和Tn。
那數列｛an｝的通項公式該怎麼求呢？
對於沒有數列的遞推公式，只有數列a1到an的關係式的時候，需要再構建出一個這樣的數列關係式，通過做差得到數列｛an｝的通項公式。
求數列｛an｝的通項公式具體做法：
因為a1+2a2+…+n·an=4－(n+2)/2^(n－1)①，令n=n－1，則有關係式為
a1+2a2+…+(n－1)·a(n－1)=4－(n+1)/2^(n－2)②.
用①式－②式得到，n·an=－(n+2)/2^(n－1)+(n+1)/2^(n－2)=n/2^(n－1).
則an=1/2^(n－1).
注意：此時an=1/2^(n－1)，滿足的條件是n≥2，還要驗證a1.
由第一問可知，a1=1；令n=1時，代入an=1/2^(n－1)，則此時a1=1。
所以當n=1時，數列｛an｝也滿足an=1/2^(n－1)。
綜上所述，數列｛an｝的通項公式為an=1/2^(n－1).
則數列｛an｝是以1為首項，以1/2為公比的等比數列。
則有Tn=[1－(1/2)^n］/(1－1/2)=2－1/2^(n－1)。
綜上所述，數列｛an｝的前n項和為Tn=2－1/2^(n－1)。
04第三問的解答、方法和重要的知識點
第三問要證的是數列｛bn｝的前n項和Sn滿足Sn<2+2㏑n。
要想證明這個不等式，首先就是要求出數列的前n項和Sn的關係式。
那如何求出數列Sn的前n項和的關係式呢？
該題中給出了數列bn的遞推公式，這種遞推公式是我們沒見過的，但是在求解第一問的時候，已經給出提示，即我們可以使用數學歸納法去求出數列｛bn｝前n項和Sn。
求數列｛bn｝的前n項和Sn的具體步驟：
因為這裡給出的bn的通項公式中不包含b1，則要單獨驗證b1.
因為b1=a1=1，所以S1=1，則S1<2+2㏑1成立。
又因為bn=T(n－1)/n+(1+1/2+1/3+…+1/n)an，則有
b2=a1/2+(1+1/2)a2；
b3=(a1+a2)/3+(1+1/2+1/3)a3；
…
bn=T(n－1)/n+(1+1/2+1/3+…+1/n)an.
則有Sn=b1+b2+b3+…+bn
=a1+a1/2+(1+1/2)a2+(a1+a2)/3+(1+1/2+1/3)a3+…+T(n－1)/n+(1+1/2+1/3+…+1/n)an
=a1+a1/2+a1/3+…+a1/n+a2+a2/2+a2/3+…+an/n+a3+a3/2+a3/3+…+an/n+…+an+an/2+an/3+…+an/n
=(1+1/2+1/3+…+1/n)a1+(1+1/2+1/3+…+1/n)a2+(1+1/2+1/3+…+1/n)a3+…+(1+1/2+1/3+…+1/n)an
=(1+1/2+1/3+…+1/n)(a1+a2+a3+…+an)
由第二問可知，數列｛an｝的前n項和為Tn=2－1/2^(n－1)。
則原式=(1+1/2+1/3+…+1/n)[2－1/2^(n－1)］
<2(1+1/2+1/3+…+1/n).
綜上所述，數列｛bn｝的前n項和Sn<2(1+1/2+1/3+…+1/n)。
而我們要證明的是Sn<2+2㏑n。
此時我們只需要證明2(1+1/2+1/3+…+1/n)<2+2㏑n即可，則2(1+1/2+1/3+…+1/n)就屬於中間媒介，該方法也就是運用了媒介法。
那如何證明2(1+1/2+1/3+…+1/n)<2+2㏑n成立呢？
我們需要知道這樣的一個重要不等式——㏑x≥1－1/x。
這個不等式就建立了對數和分數的關係。
證明不等式㏑x≥1－1/x，x>0成立：
設f(x)=㏑(1/x)－1/x+1，則一次導數f＇(x)=（1－x）/x^2。
當0<x<1時，一次導數f＇(x)>0，此時函數f(x)是單調遞增函數；
當x>1時，一次導數f＇(x)<0，此時函數f(x)是單調遞減函數。
此時當x=1時極大值也是最大值，即f(x)max=f(1)=0，所以f(x)≤0恆成立。
所以有㏑(1/x)≤1/x－1成立，即㏑x≥1－1/x成立。
若且唯若x=1時取等號。
根據裂項相消的反向還原法，則有
㏑n=㏑[n/(n－1)·(n－1)/(n－2)·(n－2)/(n－3)·…·3/2·2/1·1］
=㏑[n/(n－1)］+㏑[(n－1)/(n－2)］+㏑[(n－2)/(n－3)］+…+㏑(3/2)+㏑(2/1)+㏑1
根據不等式㏑x≥1－1/x成立，且當x=1時等號才成立，則有
原式>[1－n/(n－1)］+[1－(n－1)/(n－2)］+[1－(n－2)/(n－3)］+…+(1－1/2)
=1/n+1/(n－1)+1/(n－2)+…+1/2
=1/2+1/3+…+1/n
所以1+㏑n>1+1/2+1/3+…+1/n，則2+2㏑n>2(1+1/2+1/3+…+1/n)。
綜上所述，Sn<2+2㏑n.
05總結
上述的題中講述的求數列通項公式的方法和歸納的方法，在證明不等式的時候又用了媒介法，這些方法都是需要我們積累的。
媒介法是證明不等式的一個重要方式，一般都是在證明不等式的左右兩邊沒有直接關係時所使用的一種方式方法。
題中還給出的一個重要的不等式：㏑x≥1－1/x。
我們要知道和積累這種形式，這種形式一般用於對數和分數之間的轉化。
不知上述的哪些方法，該題是很難解決的，只有知道了這些該題才能迎刃而解。
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