雪花是生活中最常見的一種物質,如果你仔細觀察天然的雪花你會發現它具有規則的幾何形狀,非常漂亮,類似於雪花這種類型的幾何形狀,我們將它稱為分形幾何,分形幾何就是幾何圖形的某一個部分總是會與整體的形狀相似,無限循環。
水在凝結時,水分子之間會形成特定的結構,這是因為水形成的晶體在生長時,受到水分子本身結構的影響,因此會朝著特定的方向生長,形成特定的結構,在生長到一定程度之後,又會形成分支,繼續按照原來的方式不斷生長,於是形成了我們看到的雪花形狀。我們可以用一個簡單的分形來描述雪花模型。
首先我們先建立一個三角形,將三角形的每一條變分成三個等分,並以中間那一段再新建一個等邊三角形,於是,就形成了下面這個圖像。假設原始的三角形的邊長為1,因此,周長為3。
變化的後圖形相比於原來的三角形少了中間的那條線段,但是增加了兩條相同長度的邊,總的邊長變成了原來的三分之四,因此周長變為了4/3。同樣的重複上面的過程,又可以得到下面這個圖形。
同樣的,變化後的每一條邊變成了原來的4/3倍,於是,整個圖形的周長變為了原來的4/3倍,這次圖形的總周長變為了三分之四的平方。通過多次計算我們就可以發現其中的規律,每變化一次,周長就變為原來的三分之四倍。於是我們可以得出下面這個計算公式。
由於分形幾何是由無限多的分形組成,因此,變化的n為無窮大,於是我們可以得到雪花的周長無限大這個結果。
通過理論計算,雪花的邊長無限大似乎已經毫無爭議了,那麼事實真的就是這樣嗎?首先通過上面分形幾何的知識計算是完全沒有問題的,但這裡卻忽略了一個事實,就是這裡的n可以無限大嗎?雪花畢竟是一個實實在在的物質,它還會受到現實因素的制約。當n趨向於無窮大的時候,這個幾何結構的邊長趨向於無窮小,那麼這條邊又真的可以趨向於無窮小嗎?顯然是不可能的,雪花是由水分子構成的,水分子是具有一定大小的,因此,這條邊的大小不可能會變得比水分子的跨度還要小。因此,雪花的邊長不可能是無限長的。
從上面的描述我們可以知道,雪花的周長無限長並不符合實際,分形幾何在數學模型中確實可以存在,然而,現實中還存在眾多制約因素,因此,一片雪花的周長無限長的說法並不合理,而另一種說法,就是一片雪花的周長比地球的直徑還要大,這個情況還是很有可能,當我們將這個邊長取到最小的極限,這個是可以準確計算出來的,如果你感興趣的話可以嘗試一下。