按照下圖的算法，似乎可以算出圓周率 等於4：
這個結論肯定是錯誤的，這篇文章就來仔細解釋下。
確實，隨著不斷彎折，圓外多邊形看上去越來越接近圓：
那為什麼文章開頭的結論是錯誤的呢？我們需要明白，在這個彎折過程中，圓外多邊形的周長和面積發生了不同的改變：
1.1 周長不變
將圓的右上角放大，可見外接正方形的邊無論折成多少個階梯，只要恰當地平移這些階梯，就可以還原出之前的正方形（動圖出處）：
也就是說，在彎折過程中，圓外多邊形的周長始終為4：
更代數一點，可用數列 來表示彎折過程中外面多邊形的周長，很明顯該數列的極限為：
這是一個常數數列，該數列的極限為4，這說明彎折過程中圓外多邊形的周長是沒有發生變化的。
1.2 面積逼近
一開始，外接正方形和圓形的面積大概相差4個直角三角形，也就是下圖中藍色的四個直角三角形。因為圓的直徑為1，所以容易推出這四個直角三角形的面積之和為 ，也就是說外接正方形和圓形的面積大概相差 ：
不斷地彎折圓外多邊形，可以算出這些直角三角形的和是在不斷減小的，也就是圓外多邊形和圓形的面積差在不斷減小：
這說明圓外多邊形的面積在不斷逼近圓形的面積。
1.3 科赫雪花
綜上，之所以得到錯誤的結論，是我們直覺上認為面積逼近的同時周長也會逼近。這個直覺是錯誤的，周長和面積並沒有絕對的對應關係。來看一個更極端的例子，像下面動圖一樣，從邊長為 的等邊三角形開始，可以生成類似於雪花的圖像，也稱為科赫雪花：
可以證明，科赫雪花的面積極限為 ，但周長的極限為無窮大，具體細節可以參考這裡。
下面來看一個類似的問題，這個問題可以幫助我們思考得更深一些。同樣是直徑為1的圓，在它的圓周上畫滿相切的圓：
如果交替地取這些圓在圓周內的部分和圓周外的部分，就構成了一條纏繞著圓周的連續曲線：
上圖中的曲線是由8個圓組成的，當然可以用更多的相切圓來構造該曲線。隨著相切圓的增加，該曲線的周長會持續縮小，但是到一定程度後周長就不再縮小了：
實際上，該曲線的周長會停留在該數值附近，並不會逼近圓的周長。背後到底是什麼原因，使得曲線周長沒有逼近圓的周長？
在微積分中學習過，在一定的條件下， 點附近的曲線可以用切線來近似（這是《單變量微積分》中的內容）：
3.1 曲線的長度
假如要計算曲線在 之間的長度，可以將把 切成 份，對應的曲線也被分成了 份：
因為切線是對曲線的近似，所以可用每個部分的切線段長度來近似每個部分的曲線段：
進一步細分 ，也就是讓 變得更大，可以看到近似的效果會越來越好：
當 時，這些切線段的長度加起來就是曲線的長度。
3.2 錯誤的逼近
回頭來看一下，之前的例子是用折線或者曲線去逼近圓形的周長：
而不是用圓形的切線去逼近圓形的周長，這就是得出錯誤結論的原因。
3.3 為什麼是切線
那為什麼圓形的切線才能去逼近圓形的周長呢？這個問題可能需要用整個《單變量微積分》課程來回答。這裡就簡單說一下重點，可以證明，曲線的切線和曲線之間相差一個 高階 無窮小，也就是下圖標註的 ：
上述說法反過來也是成立的：
在計算圓形周長的例子中，用來近似圓形周長的折線、曲線，它們只和圓形相差了一個無窮小。這裡不去深究具體的代數表達式，只需要知道， 高階 無窮小的意思就是比無窮小還要小。也就是說，圓形的切線是最接近圓形的，因為它們之間相差最小（高階無窮小）。所以，必須用切線才能成功逼近。
本文首發自：馬同學高等數學（ID：matongxue314）公眾號改版
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