本文給出了一個使用阻抗管測量對開孔多孔彈性體泡沫材料的材料特性進行全逆法表徵的應用案例。本文旨在說明控制阻抗管側向邊界條件的重要性，並選擇合適的聲學模型以獲得最精確的材料特性。本案例使用四英寸厚的三聚氰胺泡沫和100毫米直徑的阻抗管。泡沫採用機械切割方法以和圓管匹配。然而，切割過程並不完美，在材料和管之間存在微小的橫向氣隙（即，直徑為100毫米的管，而泡沫樣品直徑為99.5毫米）。典型的表徵過程是直接和間接測量混合使用以獲取泡沫材料特性。首先，直接測量開孔孔隙率、體密度和靜態流阻率。其次，通過基於阻抗管測量的逆推法來識彆扭曲度、粘性和熱特性長度以及彈性特性。逆推法使用不同的框架行為模型（剛性、軟性或彈性）和選擇不同的橫向邊界條件（有或無橫向氣隙）。本文討論了框架行為模型的選擇和橫向邊界條件的影響。值得注意的是，微小的氣隙會嚴重影響逆推法獲得的材料特性。此外，框架模型的選擇對逆推法質量的影響較小，但允許或不允許對彈性特性進行表徵。最後，提出了提高逆推法過程精度的建議和指導意見，並討論了其局限性。
多孔材料通常用於聲學應用，由固體部分與流體部分（如空氣）耦合而成。為了優化、選擇或創建這種類型的材料，振動聲學行為預測成為一個不可忽略的因素。為了模擬它們，需要建立特有的參數模型。根據所需預測的精度，可以採用不同的方法。如果固體部分太硬或太軟，則可以使用僅考慮流體部分並使用剛性或軟性假設[2]的流體等效方法[1]。相反，如果固體部分不可忽略。可以用比奧理論模擬為多孔彈性材料[3]。根據這一理論，材料由流體-固體耦合方程控制，預測材料中三種波的傳播：流體和固體相中的兩個壓縮波和固體相中的一個剪切波。但是，必須知道每個相的固有參數。通常，必須確定9個參數：孔隙率、靜態流阻率、扭曲度、粘性特徵長度、熱特徵長度、楊氏模量、泊松比、結構阻尼和體密度。有三種方法可以確定這些參數：直接測量、間接測量和反向測量。直接測量包括使用特定設備分別評估每個參數。間接測量包括從阻抗管測量中提取扭曲度以及粘性和熱特徵長度[4，5]。通過動體密度和動體積模量的測量，並知道了孔隙率和靜態流阻率，通過反解決等效流體模型方程，可以得到其他三個流體參數。同樣，可以通過測量多孔材料中導波產生的位移並反轉理論模型[6]來估算力學參數。逆向測量包括使用全局優化迭代過程對實驗數據的理論模型進行曲線擬合。基於阻抗管測量（例如吸收係數或表面阻抗），證明了逆推方法[7、8、9、10、11、12、13、14]是最合理的方法並已經在商用軟體中應用，例如Mecanum Foam-X軟體[15]。選擇直接法、間接法和逆向法是根據時間、材料和人力成本，以及所獲得數據的質量（如魯棒性）。例如，可以採用混合方法，即使用逆方法，並固定一些通過直接測量獲得的參數。
本文給出的案例是採用全逆法從阻抗管測量中識別開孔多孔彈性體材料特性參數。它旨在說明控制阻抗管中的橫向邊界條件的重要性，並選擇適當的聲學模型以獲得最精確的材料特性（即等效流體或多孔彈性模型）。接著，對泡沫材料的製備、直接測量系統和反推過程進行了探討。
為了說明表徵過程，選擇了一塊四英寸厚的三聚氰胺泡沫作為均質多孔材料。泡沫採用機械切割，以適應所有直接測量系統。這些系統需要具有兩個不同直徑（100 mm和44.44 mm為典型值）的圓柱形樣品。切割過程包括使用一個垂直鑽頭和一套圓形刀模（圖 1）。然而，由於材料厚度大，這種切割工藝並不完美。對於直徑為100 mm和44.44 mm的目標，實際值分別為99.5 mm和44.0 mm（圖 2）。每種直徑切割了三個樣品。
圖1 直徑100-mm（左）和44.44-mm（右）圓型刀模示例
圖2 直徑99.5-mm三聚氰胺樣品的照片
本節介紹了直接測量過程中的所有細節。在對樣品進行破壞性試驗（例如，添加凡士林以確保完全密封）之前，首先不進行破壞性試驗。
尺寸
在開始使用表徵設備之前，有必要了解每個圓柱形樣品的幾何結構。用卡尺測量其尺寸（即厚度和直徑）。可以進行多個點測量，其統計值見表1。此外，沿著厚度方向進行多次測量，以確保直徑沿著該軸方向恆定。
孔隙率和密度為了獲得泡沫的開孔孔隙率和密度，使用孔隙率與密度儀（圖3）。該方法是基於阿基米德測量原理應用於泡沫的固相[16]。由於設備的測試倉不允許使用更大的材料，因此每個直徑為100 mm、厚度為4英寸的樣品單獨進行試驗。然後計算統計值並在表1中給出。
圖3 孔隙率與密度儀
為了測量扭曲度，使用了基於空氣中透射和反射方法的透射和反射扭曲度儀（圖4）[17，18]。由於超聲波在4英寸厚的樣品中傳播的衰減很高，因此不採用透射法。在這種情況下，使用反射測試臺。超聲反射技術是在測量多孔材料表面第一反射波瞬時斜向反射係數的基礎上獲取扭曲度。在超聲波頻率下，對於大多數多孔材料，由於聲波在介質中的高衰減，多孔材料中的多重反射效應可以忽略不計。對每個樣本進行測量，並計算統計數據，如表 1所示。可使用雙氣體法直接測量兩個特性長度[19]。然而，由於時間限制和卻是第二種氣體，未進行直接測量，這兩個特徵長度由成熟的反演方法確定[7，14]。
圖4 透射式（左）率和反射式（右）扭曲度儀
表1由直接測量和兩種逆推法得到的泡沫材料參數，並對三個樣本計算統計數據。
泡沫材料被認為是各向同性固體部分和均勻流體部分相耦合的材料〔3〕。為了獲取固體部分的參數，使用準靜態力學分析儀（QMA）（圖 5）。QMA系統測量各向同性多孔彈性材料的三個彈性特性：楊氏模量、泊松比和結構損耗因子。表徵測試是基於參考文獻20中詳述的技術，並遵循標準ISO 18437-5[21]。對至少兩個具有不同形狀因子的圓盤形樣品進行低頻壓縮試驗。在這些頻率下，間隙空氣對彈性參數的影響有限，因此可以忽略不計。該方法是基於對圓盤形多孔彈性試樣在靜態壓縮下進行高階軸對稱有限元模擬得到的壓縮剛度、楊氏模量、泊松比和形狀因子之間多項式關係的展開。這些關係解釋了這樣一個事實，即當圓盤樣品在兩個剛性板之間被壓縮時，「傾向於」向側面膨脹。使用所測量的壓縮剛度，結合識別算法計算泡沫的彈性參數。所得統計值見表1。
圖5 準靜態力學分析儀(QMA)
如引言中所述，逆推法是基於聲學特性（如吸聲係數、動態體積密度和體積模量等）的一種曲線擬合。本文僅給出了兩種逆推方法（即等效流體[7]和多孔彈性逆推法[14]）。它們都需要通過阻抗管獲得吸聲係數（圖6）。但是，根據所使用的方法，必須使用特殊的安裝條件來測量該指標。對於等效流體方法[7]，樣品必須貼合在管道中（即無橫向氣隙），並且可以背襯在硬壁上或帶空腔。對於多孔彈性方法，建議採用兩種安裝設置[14]。在第一種情況下，將樣品放置在管中心，粘合在剛性終端上，並切割比管子直徑略小，以便自動產生橫向氣隙，以控制橫向邊界條件。在第二種情況下，樣品粘合在剛性端和邊緣被約束住（即，樣品被切割得比管直徑大一點）。然而，邊緣約束效應出現了。Vigran等人注意到的影響[22]是多孔彈性材料可能會變得更硬，這會導致聲學指標的發生頻率偏置，從而導致對機械性能的錯誤估計。Song等人[23]也注意到了這一影響，並強調了在模型中考慮真實管邊界條件的難度。第一個安裝裝置是保留的裝置，因為樣品比管稍小。為了將三聚氰胺泡沫粘合在剛性終端上，使用雙面膠帶。圖 7顯示了在直徑為100 mm的管子中獲得的吸聲係數。可以看出，機械共振出現了。
圖6 100-mm直徑3傳聲器阻抗和傳遞管
圖7 四英寸厚三聚氰胺泡沫在直徑100-mm阻抗管中的法向吸聲係數（頻率相關的函數），其背襯剛性終端。這裡泡沫的直徑為95.5mm。它不與管壁接觸（即周圍有一個薄的氣隙）。
靜態流阻率是採用根據標準ISO 9053-91[24]設計的流阻儀，使用直徑為100 mm的樣品直接測量得到的（圖 8）。該參數是通過測量整個試樣的壓力降來獲得的，該壓力降與體積流量有關。為確保周圍無洩漏，使用凡士林將試樣密封至樣品容器中。所得統計值見表1。
圖8 流阻儀
在使用逆推算法之前，應了解它是如何工作的，以獲得物理上具有代表性的結果，並避免「垃圾進，垃圾出」的困境。取決於是否需要獲取彈性參數，可以選擇使用等效流體或多孔彈性模型的算法。本節將討論這兩種方法。
為了得到好的逆推結果，所測量的吸聲質量是很重要。正如Atalla和Panneton的工作[7]中所注意到的那樣，為了更好地估計五種流體參數，吸收係數必須覆蓋圖 9所示的3個特定區域。每個區域對應一組可識別的參數。如果無法觀察到這些區域，必須增加樣品厚度，或者必須提供一些材料參數（例如，孔隙度和電阻率），以幫助收斂。此外，吸聲係數必須顯示與彈性共振相關的下降，以便識別搜索到的彈性參數。在圖 7所示的測量吸聲曲線中，在400赫茲左右可以觀察到這種下降。同樣，當某些材料參數已知時，它們可以作為固定參數，以減小搜索域的大小。這有助於加速收斂。
等效流體逆推法是基於約束微分進化算法，採用了Johnson-Champoux Allard（JCA）模型[1]。成本函數是實驗數據與模擬數據之間的殘差。該模擬包括在阻抗管中獲得法向入射聲吸聲係數，其中泡沫佔據管子橫截面（無橫向氣隙），其支撐在硬壁上。
多孔彈性逆推法是基於約束微分進化算法和比奧理論，也採用JCA模型。與前面的方法一樣，成本函數是相同的。採用層次軸對稱有限元法（axiFEM）得到擬合數據。多孔彈性單元用(u, p)-多孔彈性公式[26，27]表示，流體單元用聲學公式[26]表示。兩個單元之間使用耦合方程[26]。通過一個簡化的數值問題再現阻抗管結果。樣品可以在阻抗管中邊約束或橫向自由。要使用該方法，除了設置材料的體積密度外，還必須設置其他輸入數據：層次軸有限元的階次（通常為4或5）、管和樣品幾何以及安裝條件。
圖9 吸聲曲線中三個典型觀測區。每個區域主要由一組特定的流體參數控制。
這兩種算法都需要限制搜索域，並在Foam-X軟體[15]中得到實現。表2給出了每個搜索參數的允許範圍。
表2逆推法中使用的每個搜索參數的允許範圍。
在應用此方法之前，必須進行三個基本驗證。首先，為了在不固定其中任一參數的情況下獲得五個等效流體參數，吸聲數據必須呈現圖9所示的三個典型區域。對於我們的案例，我們遵照了這個原則（圖10）。第二點是吸聲數據不包含力學行為，如機械共振或安裝條件的影響。然而，從150Hz到650Hz，吸聲曲線受到機械共振的影響（圖10）。因此，該曲線部分不用於逆推過程。最後要驗證的一點是樣品沒有橫向氣隙。在我們的例子中，樣品橫截面比阻抗管的橫截面小一點（即99.5 mm對100 mm）。這1%的橫向氣隙將導致低估或高估等效流體參數。圖10給出了實驗數據與通過反演一個樣本獲得的模擬數據之間的比較。表 1給出了對多個樣本應用此逆方法後獲得的統計數據。可以看出，與直接測量相比，流阻率被低估，孔隙率被低估。如果孔隙率是固定的，逆推法將給出更大的流阻率差異（大約7500Nm-4s）。當出現誤差時，最好通過觀察樣品、其在管內的安裝情況及其聲學響應來修正逆推方法。由於被測樣品比管直徑小，且表現出力學行為，因此採用多孔彈性反演方法更為合適。
圖10 四英寸厚三聚氰胺泡沫在100-mm阻抗管中的法向吸聲係數曲線和等效流體逆推法得到的仿真數據（頻率相關函數）
在實施多孔彈性逆推法之前，必須進行兩個驗證。第一個是確保吸聲數據包含足夠的信息。對於等效流體法，吸聲曲線必須首先覆蓋三個典型區域，但也必須包含用於彈性識別的機械共振。對於我們的案例，第一個檢查點是符合的（圖 10）。
第二個驗證是在阻抗管和樣品之間設置正確的邊界條件，因為這種逆推方法是基於有限元法的。為了驗證1%的橫向氣隙邊界條件是測量吸收數據中最具代表性的條件，對不同邊界條件下直接法獲得的模型參數進行了三次模擬。圖 11、圖 12和圖 13分別展示了使用固結、滑移和1%橫向（周向）氣隙邊界條件的軸有限元獲得的實驗數據和模擬數據之間的比較。可以放棄粘結和滑動條件情況，因為此時只有在仿真數據中出現1500赫茲到2000赫茲之間的機械共振，而實驗曲線中沒有出現這種共振。最後，1%的橫向氣隙模擬是與測量最接近的模擬。因此，多孔彈性逆推是建立在這種邊界條件的基礎上的。
圖11 四英寸厚三聚氰胺泡沫在100-mm阻抗管中的法向吸聲係數曲線和使用axiFEM直接參數和側向固結邊界條件得到的仿真數據（頻率相關函數）
圖12 四英寸厚三聚氰胺泡沫在100-mm阻抗管中的法向吸聲係數曲線和使用axiFEM直接參數和側向滑移邊界條件得到的仿真數據（頻率相關函數）
圖13 四英寸厚三聚氰胺泡沫在100-mm阻抗管中的法向吸聲係數曲線和使用axiFEM直接參數和1%側向氣隙邊界條件得到的仿真數據（頻率相關函數）
從圖13還可以注意到，如果忽略彈性行為區域，則直接測量得到的模型參數可以很好地預測吸聲曲線。實驗曲線和模擬曲線之間差異可由兩個因素引起。第一個因素是樣品可以接觸阻抗管壁，多孔彈性材料會變得更硬，這會導致聲學指標隨頻率偏置[22，23]。第二個與直接測量設備有關：QMA。在Dauchez的論文〔25〕中，他解釋了在靜載作用下泡沫樣品的前表面和後表面上的支柱的屈曲導致QMA低估了與空載靜載荷情況下的楊氏模量。
現在將樣品的體密度和管的幾何尺寸提供給逆算法。將有限元階次設置為4個，並使用60個規則間隔頻率點來評估成本函數。所有其他參數都是自由的，其允許範圍如表 2所示。在沒有CPU並行的Intel Core i7 CPU上，逆推過程持續4分鐘。表 1包含已識別的參數。圖 14顯示了實測數據與通過逆推法獲得的模擬數據之間法向吸聲比較。在包括彈性共振區在內的整個頻率範圍內，吸收數據得到了很好的再現。如表 1所見，機械參數接近於用QMA獲得的參數。然而，用逆方法得到的楊氏模量和阻尼損失因子與QMA之間存在著差異。如前所述，它可以由於安裝設置和QMA導致。此外，在多孔彈性逆推法論文[14]中，研究表明，樣品越剛性，對QMA靜載荷的敏感度越低，則多孔彈性逆推法法與QMA之間的相關性就越好。
圖14 四英寸厚三聚氰胺泡沫在100-mm阻抗管中的法向吸聲係數曲線和使用多孔彈性逆推法得到的仿真數據（頻率相關函數）
本文展現了一個案例，就是用直徑為100 mm的阻抗管測量了四英寸厚的三聚氰胺泡沫數據利用完全逆推法獲取材料特性。結果表明，典型的表徵過程是採用直接和間接測量混合的方法，以獲取泡沫材料的特性。首先，直接測量得到開孔孔隙率、體密度和靜態流阻率。第二，扭曲度、粘性和熱特性長度以及彈性特性採用逆推法識別得到。研究還表明，控制阻抗管中的橫向邊界條件（切割工藝不完善）和選擇合適的聲學模型以獲得最精確的材料特性（即等效流體或完全多孔彈性模型）的重要性。值得注意的是，微小的氣隙會嚴重影響逆向表徵的材料性能。此外，骨架模型的選擇對逆推質量的影響較小，但允許或不允許對彈性特性進行表徵。最後，通過多個數值實例對這些方法進行了驗證，並給出了正確的答案。然而，人的因素也不容忽視。逆推法過程的準確性首先取決於輸入數據的質量以及如何獲得這些數據。換言之，被測材料必須遵循逆推法中的模型使用，而如何進行測量是成功識別的關鍵。採用軸對稱有限元方法，考慮彈性行為和橫向安裝條件（即固結或有氣隙）時，多孔彈性逆推法是目前最合適的方法。
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AxiFEM - Axisymmetrical Finite Element Method 軸對稱有限元法
QMA - Quasi-Static Mechanical Analyzer 準靜態力學分析儀