先看一個生活中的例子。
王宏去醫院作驗血實驗，檢查他患上了X疾病的可能性，其結果居然為陽性，把他嚇了一大跳，趕忙到網上查詢。網上的資料說，實驗總是有誤差的，這種實驗有「百分之一的假陽性率和百分之一的假陰性率」。這句話的意思是說，在得病的人中做實驗，有1%的人是假陽性，99％的人是真陽性。而在未得病的人中做實驗，有1%的人是假陰性，99％的人是真陰性。於是，王宏根據這種解釋，估計他自己得了X疾病的可能性（即概率）為99%。王宏想，既然只有百分之一的假陽性率，那麼，百分之九十九都是真陽性，那我已被感染X病的概率便應該是99%。
可是，醫生卻告訴他，他被感染的概率只有0.09左右。這是怎麼回事呢？王宏的思路誤區在哪裡？
醫生說：「百分之九十九？哪有那麼大的感染機率啊。99％是測試的準確性，不是你得病的概率。你忘了一件事：這種X疾病的正常比例是不大的，1000個人中只有一個人有X病。」
醫生的計算方法是這樣的：因為測試的誤報率是1%，1000個人將有10個被報為「假陽性」，而根據X病在人口中的比例（1/1000=0.1%），真陽性只有1個。所以，大約11個測試為陽性的人中只有一個是真陽性（有病）的，因此，王宏被感染的機率是大約1/11，即0.09(9%)。
王宏想來想去仍感糊塗，但這件事激發了王宏去重溫他之前學過的概率論。經過反覆閱讀，再思考琢磨醫生的算法之後，他明白了自己是犯了那種叫做「基本比率謬誤」的錯誤，即忘記使用「X病在人口中的基本比例（1/1000）這個事實。
談到基本比率謬誤，我們最好是先從概率論中著名的貝葉斯定理【1】說起。託馬斯·貝葉斯（ThomasBayes ，1701年–1761年）是英國統計學家，曾經是個牧師。貝葉斯定理是他對概率論和統計學作出的最大貢獻，是當今人工智慧中常用的機器學習之基礎框架，它的思想之深刻遠出一般人所能認知，也許貝葉斯自己生前對此也認識不足。因為如此重要的成果，他生前卻並未發表，是他死後的1763年，才由朋友發表的。本篇將對貝葉斯定理稍作介紹，我們在本系列的後幾篇，將討論貝葉斯學派以及貝葉斯理論在人工智慧中的應用。
初略地說，貝葉斯定理涉及到兩個隨機變量A和B的相互影響，如果用一句話來概括，這個定理說的是：利用B帶來的新信息，應如何修改B不存在時A的「先驗概率」P(A)，從而得到B存在時的「條件概率」P(A|B)，或稱後驗概率，如果寫成公式便是：
這兒「先驗後驗」的定義是一種「約定俗成」，是相對的。比如說也可以將A、B反過來敘述，即如何從B的「先驗概率」P(B)，得到B的「條件概率」P(B|A)，見圖中虛線所指。
不要害怕公式，通過例子，我們能慢慢理解它。例如，對前面王宏看病的例子，隨機變量A表示「王宏得X病」；隨機變量B表示「王宏檢查結果」。先驗概率P(A)指的是王宏沒有檢查結果時得X病的概率（即X病在公眾的基本概率0.1%），而條件概率（或後驗概率）P(A|B)指的是王宏「檢查結果為陽性」的條件下得X病的概率（9%）。如何從基本概率修正到後驗概率的？待會兒再解釋。
貝葉斯定理是18世紀的產物，200來年用得好好的，不想在20世紀70年代遇到了挑戰，該挑戰來自於卡尼曼和特維爾斯基（Tversky）提出的「基礎概率謬誤」（Base-RateFallacy）。丹尼爾·卡尼曼（Daniel Kahneman，1934年－）是以色列裔美國心理學家，2002年諾貝爾經濟學獎得主。基礎概率謬誤並不是否定貝葉斯定理，而是探討一個使人困惑的問題：為什麼人的直覺經常與貝葉斯公式計算的結果相違背？如同剛才的例子所示，人們在使用直覺的時候經常會忽略基礎概率。卡尼曼等在他的文章《思考，快與慢》中舉了一個計程車的例子來啟發人們思考這個影響人們「決策」的原因。我們不想在這兒深談基礎概率謬誤對「決策理論」的意義，只是借用此例來加深對貝葉斯公式的理解：
某城市有兩種顏色的計程車：藍和綠（市場比率15:85）。一輛計程車夜間肇事後逃逸，但還好當時有一位目擊證人，這位目擊者認定肇事的計程車是藍色的。但是，他「目擊的可信度」如何呢？公安人員經過在相同環境下對該目擊者進行「藍綠」測試而得到：80%的情況下識別正確，20%的情況不正確。也許有讀者立刻就得出了結論：肇事之車是藍色的機率應該是80%吧。如果你作此回答，你便是犯了與上面例子中王宏同樣的錯誤，忽略了先驗概率，沒有考慮在這個城市中「藍綠」車的基本比例。
那麼，肇事之車是藍色的（條件）機率到底應該是多少呢？貝葉斯公式能給出正確的答案。首先我們必須考慮藍綠計程車的基本比例（15: 85）。也就是說，在沒有目擊證人的情況下，肇事之車是藍色的機率只有15%，這是「A=藍車肇事」的先驗概率P(A)= 15%。現在，有了一位目擊者，便改變了事件A出現的概率。目擊者看到車是「藍」色的。不過，他的目擊能力也要打折扣，只有80%的準確率，即也是一個隨機事件（記為B）。我們的問題是要求出在有該目擊證人「看到藍車」的條件下肇事車「真正是藍色」的概率，即條件概率P(A|B)。後者應該大於先驗概率15%，因為目擊者看到「藍車」。如何修正先驗概率？為此需要計算P(B|A)和P(B)。
因為A=車為藍色、B=目擊藍色，所以P(B|A)是在「車為藍色」的條件下「目擊藍色」的概率，即P(B|A)＝80％。最後還要算先驗概率P(B)，它的計算麻煩一點。P(B)指的是目擊證人看到一輛車為藍色的概率，等於兩種情況的概率相加：一種是車為藍，辨認也正確；另一種是車為綠，錯看成藍。所以：
P(B) = 15%×80% + 85%×20% = 29%
從貝葉斯公式：
可以算出在有目擊證人情況下肇事車輛是藍色的機率=41%，同時也可求得肇事車輛是綠車的概率為59%。被修正後的「肇事車輛為藍色」的條件概率41%大於先驗概率15%很多，但是仍然小於肇事車可能為綠的概率0.59。對王宏測試X病的例子，讀者可以參考這兒的方法，不難得出正確的答案，作者就不再贅述了。