原創： 顏一清 返樸
在
《數學巨擘高斯： 從貧窮人家的神童到「數學之王」》中，我們看到了天才高斯一步步成為「數學之王」的歷程。君臨學術界的高斯在面對數學中的大問題，如歐幾裡得平行公設與費馬大定理時，他的態度是怎樣的，他做了哪些研究？是什麼樣的人生信念指引他在數學世界裡不斷創造，寫作出簡潔而豐實的著作？
撰文 ∣ 顏一清（臺灣輔仁大學數學系）
十
與韋伯合作
1828年高斯赴柏林參加學術會議住洪堡家，在那裡他認識了當時當 Halle 大學講師的威廉·韋伯（ Wilhelm Weber，1804-1890） 。洪堡鼓勵高斯作地磁氣的研究。 這一年高斯升任哥廷根大學正教授。
1831年因高斯的推薦，韋伯被聘為哥廷根大學物理學教授。當年高斯54歲，韋伯27歲。此後除了1843-1849年間待在萊比錫外，韋伯一直在哥廷根。高斯與韋伯開始合作。 起先韋伯只是高斯熟練的幫手，後來韋伯的獨立性與重要性日增，他最高的成就在於1846年的電力學測定。
1832年高斯寫了有關磁氣測定絕對單位的論文。 在這裡，數學家高斯又成為「測定物理學」的立法者了。
高斯與韋伯合作，發明了電磁式電信機 。 他們在天文臺與物理研究所之間裝置接送機互通訊息。1834年他們在天文臺附近建造了一所磁氣觀測所。 他們在 1840年共著《地磁氣地圖》（萊比錫出版），奠定了位勢論的基礎。
到此高斯在應用數學的研究到達了他生涯中的頂點。 但是他成就的核心與基盤還是在他投入了青春的純數學上。 他專注的領域是算學、代數與解析學。
十一
孩子們
高斯的大女兒 Wilhelmine （暱稱 Minna）長大後相貌神似她母親，個性卻像高斯。 她是高斯最鍾愛的孩子。 她照料祖母、生病的繼母和弟妹，並與出外工作的父親通信。
1830年9月15日Minna與哥廷根大學神學與東方語言教授 Heinrich August von Ewald （1803-1875）結婚。Ewald年輕時就已經是傑出的學者，人品好，但非常心不在焉。高斯對他這位女婿很滿意。Minna婚後不久罹患肺病，沒生孩子。 不過Minna與Ewald過了很幸福的婚姻生活。
高斯的第三子Eugene在數學與語文方面承繼了父親的能力，但是他叛逆性強，性格又暴燥。 本來Eugene上大學時想念語言學，做父親的卻用他的權威硬壓制下來。Eugene「聽勸」念法律系。但是他進校後猛賭牌、酗酒，所欠的債當然由老子償還。在高斯怒斥之下Eugene不帶一物，不告而別。高斯託舒馬赫在Eugeine可能去的漢堡尋找。 終於在不萊梅找到Eugene。高斯帶行李與錢趕到不萊梅 Olbers 家。在那裡父子生別了。1830年12月 Eugene 買棹赴紐約。他的行徑傷透了病中的 Minna 夫人的心。她自從生完三個孩子後常常生病，還帶些憂鬱症，又很在乎高斯對她的觀感。孩子們的事也讓她不順遂。Eugene難惹， 她的第二子 Willhelm 比較溫順，喜歡務農，但去過幾處實習，都不能適應。後來總算在波茨坦做了兩年生意。
長病的 Minna 夫人在1831年9月12日去世了， 遺言Eugene的行為改好才能得到他份內的遺產。Minna夫人過世並沒有打垮高斯。 他羽毛已豐，有學術與社會地位，孩子們也已長成。家事改由小女兒 Therese 主持。母親 Dorothea 還健在，使高斯比較內省，會回想到他的已往，也就常對訪客談及他的兒時。但是他的人變得弧僻。他心中不快活，覺得沒有什麼好再奮鬥的了，對待一些年輕同行也就冷峻起來。 為了貝瑟爾沒有來信弔問 Minna 夫人的亡故，高斯生氣與 貝瑟爾斷絕通信。 多年後他們又恢復寫信，但是彼此間已經有一層隔閡了。
兩個兒子Eugene與Wilhelm的問題使高斯沒轍，常常與他的學生兼朋友C.L. Gerling商量。 總算在1837年 Wilhelm娶了貝瑟爾的侄女，並在同年與新娘子移民美國，以實現他經營農場的夢。小舅子也同行。這回Wilhelm夫婦得到了高斯的祝福，不過他們的行程也讓高斯擔憂了好幾個月。
十二
非歐幾何學
有關歐幾裡得的平行公設（parallel postulate）早在紀元二世紀託勒密（Claudius Ptolemy，ca. 85-ca. 165）就置疑了。 他想把它從公設中挪開而沒有成功。過後歷代都有一些人嘗試這個問題。直到十九世紀這個問題的研究成為一種時尚。高斯與他的朋友Bolyai就透過這個問題的討論加深了彼此間的友誼。高斯也一直斷斷續續地研究平行公設。在1799年9月的日記中他寫：「在幾何學的原理上我得到了很好的進展。」 在1846年10月2日高斯給 Gerling 的信中說：「在沒有平行公設的幾何學上，多邊形的面積與其外角和減去360°成正比。它應該是這個理論上的第一個定理，也是出發點。我早在1794年就得到這個理論。」
Wolfgang Bolyai 自1799年回去故鄉特蘭西瓦尼亞（Transylvania）到1804年他當上 Maros Vásárhely 的數學與物理教授之前把數學擱置了一陣子。過後他又持續他當年做的平行公設研究。1804年9月16日他把所得結果寄給高斯。11月25日高斯給他回信，讚賞 Bolyai 所下的工夫， Bolyai 得到的結果有些與高斯的相似，但是它並沒有完全解決了問題。高斯又說，他打算有生之年突破這個問題的難關，不過目前他忙其他事，無法貫注在它上面。如果 Bolyai 能夠克服障礙解決問題，高斯很樂意讓給好朋友優先發現者的榮譽，並設法讓世人知曉。
Bolyai 受到這封信的鼓勵，1808年12月27日又寄補遺給高斯，但是沒有收到回音。他們之間的通訊就間斷到1816年。
1816年 Bolyai又寫信給高斯說：想把兒子Janus 送到哥廷根高斯那裡，先當學徒後念書。但也沒有得到回函。這期間Bolyai又在平行公設上投入了好多精力而無結果。
Walfgang Bolyai 的兒子Janus小時候從他父親受教育，他學習迅速，十三歲時父親生病他都可以代課了。他又繼承了他父親對第五公設的狂熱，他簡直被平行公設迷住了！1818年Janus在念維也納的陸軍技術學院，並在1820年寫信告訴父親他在嘗試平行公設的研究。做父親的得悉後大吃一驚，去信勸兒子：「連一個時刻都不要用在這個問題上，它不能給你任何結果，反而會毒害你整個人生。它會剝奪你的閒暇、你的健康、你的休息、你生命中的一切幸福。 這個暗黑的無底深淵可能會吞噬千萬個牛頓般的人物，它不可能在這個地面上見到光。」
可是Janus沒有聽進父親的忠告，反而更加努力去研究。1823年11月3日他開始感覺到勝利的滋味，他告訴父親：「從『無』中我創造出新世界來。」他所得結果便是高斯在長期的疑惑與猶疑後在1816年達成的。高斯在1816年的書評中發表說，證明平行公設是不可能的事。他為這遭受到嚴苛的批評。因此他決定在他有生之年不再發表有關平行公設的任何意見。
不久高斯發現一名法律學家 F. C. Schweicart (1780-1859) 在1812-1816年間不藉助於第五公設開發「天界幾何學」，他給高斯他的「天界大小的理論」的簡稿，徵求高斯的意見。高斯回答：他寫的全部彷佛是借高斯的筆寫成的一樣。高斯又說，空間存在於我們的外部。它的原則不能預先記述。它的性質該用實驗為基礎才能完全確定。
Schweicart 有外甥 F.A.Taurinus（1794-1874），他也是一名法律學家，因舅父的書給他刺激，他從年輕時就投入平行公設的研究。1824年10月Taurinus寄給高斯他的實驗式的證明。 同年11月8日高斯給他長信。請他保密信的內容。信中說：「三角形內角和小於180°的假設會引導我們到特別的幾何學，它裡面不會有矛盾產生。我開發這種幾何學到很滿意的程度，除了一例外我全部可以解決有關它的問題。這個例外便是定數的決定，而它是不能預見的。這個定數取得越大，越接近於歐氏幾何學，取無限大值則兩者一致……」 （註：這個定數便定為，K：高斯曲率） Taurius受到鼓舞，1825年寫出《並行線的理論》， 1826年寫《幾何學的主要要件》寄給高斯。 兩書序文中都提到高斯。高斯不再理睬他，這些書也就默默無聞了。
1825年Janus開始寫他的論文。 他的父親告訴他：「如果你真的成功地解決了有關平行公設的問題，有兩個理由你得趕緊發表它。一則，觀念很容易傳開，別人可能也會發表它。 二則，如預言會同時在數處出現，春天裡紫羅蘭會到處開花一般， 許多事會同時發生，所以你要搶先公開它。」
Janus的《絕對幾何學》以附錄的形式出現在他父親寫的教科書《Tentamen》中（「Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens」 1831年6月出版）。
1831年 Walfgang Bolyai 把書與信分別寄給高斯。高斯收到了信，書因霍亂的蔓延無法寄達而被折回。高斯在1832年2月從朋友處拿到了這本書。
1832年3月6日高斯給 Walfgang 信說：Janus 的結果與高斯的結果非常一致，令他很驚訝。 不過他不便稱讚 Janus， 因為這麼做等於稱讚他自己。 他向年輕的幾何學家 Janus 表示十分的敬佩之意，並給他一個問題：如何求出非歐幾何學裡面一個四面體的體積？ （後來兩人都做出這個問題）
Walfgang對於高斯的回信內容相當地滿意。但是Janus卻非常失望並憤恨不平：高斯不給他公開的認定，還說在發明上他有優先權！
其實俄國數學家羅巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky，1793-1856）早在1829-1830年間在 Kasan 大學學報 Kasan Messenger 發表他的《虛數幾何學》（非歐幾何學）了。羅巴切夫斯基在1815-1816年間開始在 Kasan 大學教幾何學時還試圖證明平行公設。後來他逐漸習慣於不可能證出平行公設的事實，從而發展出無平行公設存在的幾何學，並把研究結果在Kasan科學學會（1826年2月12日）上提出。 一直到1830年它才被刊載出來。
但是羅巴切夫斯基的論文並沒有引起西歐人士注目，他於是在1837年用法文把他的《虛數幾何學》的摘要發表在 Crelle Journal XVII （pp.295-320）上。1835-1838年間他又寫出有關的研究論文。
Janus Bolyai 得知羅巴切夫斯基也做出非歐幾何學後以為這是高斯搞出來的一種花樣，更加生氣，又氣餒，就不再研究他的「美麗新世界」了。從此他跟父親Walfgang也疏遠起來，還從軍職退下，過他的荒唐生活至死 ，最後甚至於連他自己的肖像都用佩劍刺破，悉數毀掉 [1]。
高斯一直到1840年才知道羅巴切夫斯基做出非歐幾何學來，為了要好好念原文，高斯還特地重學了俄文，並在1842年選聘羅巴切夫斯基為哥廷根皇家科學會通訊員。
十三
費馬最後的定理
法國科學院曾經在1816-1818年間懸賞徵求費馬大定理 xn + yn = zn，n ∈ N 的證明或反證明。Olbers寫信給高斯，慫恿他做這個問題。高斯回答說，他感激 Olbers 告訴他件事，不過他對它不感興趣。事實上他也很容易做出一連串這一類孤立而沒有應用價值，且使人難解的問題來。但是他認為這對往後數論的發展並沒有多大益處。
實際上高斯證過 x3 + y3 + z3 = 0 無整數解，即費馬最後的定理當n=3的情形。 他在另一篇文章上也證過這個定理當n = 5的情形，但是沒有再做下去。
十四
橢圓函數
高斯在早年（1791）就玩算術幾何平均數的遊戲，即：給定 a = a0 > b = b0 >0 令，an=，bn=，則{an} {bn}趨近於同一極限值 M(a, b)。則完全橢圓積分（橢圓的周長算法）。高斯又導出雙紐線 （lemniscate） (x2 + y2) 2= a2 (x2 − y2) 的弧長算式，為橢圓積分。它的逆函數高斯以 y = sinlemn x 表示，稱為x的雙紐線正弦，而sinlemn x有二周期2ω，2ωi，（1795年5月）他又引進coslemn x等。
在1797年3月的日記中高斯記載他可以用直尺與圓規五等分， 甚至於n等分雙紐線長。1800年高斯導出，並且它滿足一個二階微分方程式。
從這些看得出高斯對橢圓函數是做過深入研究的。高斯可能有意把橢圓函數的全部理論完整地做出後再發表，否則不公開它。高斯所寫有關橢圓積分的內容只有在他1818年發表的論文「Secular Perturbations」中可以見到。
多年後（1827年）挪威人尼爾斯·亨利克·阿貝爾（Niels Henrick Abel，1802-1829）與德國人雅可比（ C. G. J. Jacobi，1804-1851）因高斯的《Disquisitiones Arithemetica》第七章335節中的提示而做出關於橢圓函數的友善的競爭性研究。對這高斯的態度是不聞不問的。
在1824年當年22歲的阿貝爾解出一般五次方程式的不可解性，而在奧斯陸自印成六頁的小論文。他把論文寄給各國數學先進們，滿懷希望得到他們一些善意的回應。 他也寄給高斯。但是他所得到的可靠消息是，高斯尖叫：「這裡又出現怪物了！」就把阿貝爾的論文扔去一邊。（參看《張壽武：數學中的無解之解》）
1825年8月底阿貝爾因他的一篇論文（後來遺失）得到挪威政府的獎金可往西歐遊學一年。阿貝爾的最大願望是拜訪他尊崇的高斯。 但是高斯這個人既然遙不可及，阿貝爾便在9月取道丹麥，抱著痛苦的心情繞過高斯所在地哥廷根，到達柏林。在那裡他僥倖地遇到A. L. Crelle（1780-1855）。Crelle是第一位在德國境內鋪設鐵路而發財的土木工程師。 他愛好數學，並有識別天才的洞察力。阿貝爾、斯坦納（J.Steiner，1796-1867）、魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815-1897）都因他識才替他們發表論文才得以出名。
Crelle 想辦一份數學雜誌，就向阿貝爾邀稿。阿貝爾便在1826年Crelle出資的數學季刊雜誌Jaurnal für die reineund angewandte Mathematick（又簡稱 Crelle Journal（I））上發表了五篇論文。 該雜誌第二冊中有阿貝爾的橢圓函數雙周期理論。
阿貝爾到了巴黎，那裡的數學家們對他冷冷的，只是有禮貌而已 。 他寄給巴黎科學院的有關超越函數的巨著也被審稿者柯西（ A. L. Cauchy，1789-1857）放置在家裡失蹤了。 這篇文章一直到阿貝爾貧病交迫死亡後幾年，經挪威政府的抗議才尋找出來，終於在1841年見到天日 （法國科學院論文集第7卷pp.176-264）。
1827年秋天阿貝爾在Crelle Journal上發表橢圓函數的論文。 數月後 （1828年3月30日）高斯給貝瑟爾信，說：「我無法完成自從1798年以來研究的橢圓函數，因為我有其他事得做。最近我發現阿貝爾已經完成了我的工作，他讓我省去三分之一的勞力。他寫得既優雅又清楚。寫的方式又跟我神似到令我驚奇的地步。 不過他並沒有抄襲我的研究，因為我從來沒有跟任何人談到它。」
1829年4月6日阿貝爾去世了，年方27歲。同年5月29日高斯給舒馬赫信， 說：「阿貝爾的死對科學界是一大損失。我在報紙上都沒有看到有關他的報導。如果你手中有這位特殊人物的生前數據，請告訴我。假使可能，我也想擁有他的肖像。」
這樣看來，高斯對阿貝爾的印象並沒阿貝爾所想像的那麼差。
至於另一位橢圓函數發現者雅可比，在1849年慶賀高斯得博士學位五十周年紀念宴會上，他是哥廷根大學的貴賓， 被安排坐在高斯的旁邊。雅可比想跟高斯談數學，但高斯避開話題不談。
十五
解聘七教授事件
英王兼漢諾瓦王威廉四世（William IV） 在1837年6月逝世。 他雖然不幹練，倒也是一位慈愛的國王。 由於他無子嗣，英王由他的侄女維多利亞繼承。她是女子，依照漢諾瓦律法不能繼任漢諾瓦王位，改由她的叔父，威廉四世昏庸的五弟 Ernst August 當漢諾瓦王，稱為喬治五世（George V）。
1837年9月12日至20日哥廷根大學慶祝大學成立百年慶。喬治五世與亞歷山大·馮·洪堡都來參加。 慶典的場面盛大，熱鬧非常。 但是好景不長。
1837年11月喬治五世廢止了前王威廉四世所訂的民主憲法。於是哥廷根大學的七位教授 Dahlmann、G. G. Gervinus、W.E.Albrecht、Ewald（高斯女婿）、韋伯與格林兄弟（格林童話作者）聯署抗議書。 國王一怒，12月12日解聘這七名教授。有一陣軍隊還開進，控制著整個哥廷根。
有人批評高斯，說如果他加入抗議行列，則分量足，事情不致於如此。可是高斯寧願明哲保身，安靜過他的研究生活。他也怕鬧事會影響到哥廷根大學的聲譽。的確，哥廷根大學因這事受損，要恢復它的名聲花了五十多年。
高斯事後不便為女婿Ewald說項，倒是為韋伯奔走過。 他託洪堡給喬治五世進言。在一次宴會上喬治五世跟洪堡說：「用我的錢，我可以召來芭蕾舞娘、娼妓、教授，要多有多少！」洪堡一聽便知趣，沒提起替韋伯緩頰的事。而被解聘的七名教授們倒是被其他大學爭相延聘。
1838年5月Ewald受聘於圖賓根大學為東方語言教授，高斯寵愛的大女兒Minna於是跟丈夫Ewald赴圖賓根。Ewald在那裡認真工作了十年。 而 Minna因肺病在1840年8月12日在當地去世，讓高斯非常悲傷。
十六
高斯的教學
晚年高斯對教學比較賣力。 有一些優秀的學生在他底下受教，在數學方面有愛森斯坦（F. G. M. Eisenstein，1844）、黎曼（1846）、戴得金（Richard Dedekind，1850）與數學史家 Moriz Cantor（1850）等。
1844年放暑假時愛森斯坦（1823-1852）帶著洪堡的介紹信來見高斯。高斯對待愛森斯坦就如同愛森斯坦是他鍾愛的兒子般，並期許愛森斯坦將來的數學成就可與阿基米德、牛頓並列。愛森斯坦在他短促的一生中留下了五十篇文章。 倒是高斯認為愛森斯坦該有的地位被高斯本身取代了。
戴得金（1831-1916）描繪過高斯上課的情形：「師生們圍著一張方桌坐著。高斯不讓學生記筆記，要他們專心聽講。高斯很自在，清楚而平板地講課。當他要強調某件事時他會以他那清澈的藍眼睛盯著靠近他坐著的學生講。 要寫數學公式時他會站起來在他背後的黑板上用他那美麗的字體不佔地方地寫下來。如果得仔細推算的例子，他會帶來寫著相同數據的小字條來。」
十七
晚年
在高斯最後十數年，他看來好像完全安頓在他那中產階級的生活中。 他的母親在1839年4月18日去世，安享天年至97歲高齡。他在1840年出版《Atlas of Terrestrial Magnetism》。1843年4月6日出版《Memoir in Geodesy (I) 》 1846年又出版《Memoir in Geodesy (II) 》。1849年6月26日高斯早年的天文學家朋友 Bernhard August von Lindenau（1799-1854）來拜訪他，讓他好高興。
1845年初哥廷根大學的學術參議會委託高斯重新組合瀕臨破產的教授寡婦基金會。高斯以他一貫的認真態度研究寡婦基金，解決了問題，挽救了這個基金會，使一批孤兒寡婦們很感激他。
事實上高斯本身很會理財，他年薪有一陣只有1000 thaler。 他的收入是薪水再加上選課學生的學費 （他的學生一向很少）。 但是他生活簡樸，又因很會投資，他去世後遺產竟有十五萬三千 thaler，而從桌子、抽屜、衣櫥又找出一萬八千餘thaler的現款出來 [2]。
1848年2月哥廷根大學鬧學潮。激進派的學生領袖是Johann Miquel，他是 卡爾·馬克思（Karl Marx） 的好朋友，有社會主義傾向。多數的學生是溫和派，他們僅主張校內改革而已。軍隊一度也開進哥廷根來。而學生與警察間稍有衝突，不過事情沒有鬧大。哥廷根大學因這次學潮反而嬴得在漢諾瓦王國次於 Hildesheim，最前衛的學校的名聲。
在這次學潮中，學校當局請出體能好的教授們站崗，維持學校境內的秩序。
Max Schneidewin 在1927年時回憶說 ，在1848年他6歲， 是哥廷根大學古代語言教授的兒子。2月事件時他看到他的父親穿上黑外套，配上寬厚皮帶，荷長槍去Geismar門邊站崗。站崗的教授們聽到住在附近的高斯要經過，便排成列。當高斯經過時他們便向他行舉槍禮表示敬意。
可見在同事們心目中高斯崇高的地位。高斯本人也意識到他君臨學術界的架勢。
實際上高斯也獲得各種榮譽， 各國學術機構爭聘他為榮譽會員， 他又有許多封號，如早在1810年8月19日威斯特伐利亞國王 Jêrome 就封他為爵士 （Knight） ，1818年喬治三世（George III）賜封他參議 （Hofrat）。1845年喬治五世封他為首席參議 （Geheimes Hofrat）。 不過1848年4月20日高斯給 Wolfgarg Bolyai 的信中卻說這些榮譽對他來講好比是過眼煙雲而已。
1848年的2月事件後漢諾瓦政府為了要彌補1837年事件以來的遺憾，想聘回被放逐的七位教授，但也只有韋伯與 Ewald 回來哥廷根大學。這可是晚年的高斯非常樂見的事哩。
1848年哥廷根大學內設立了「文藝博物館」，後來改稱為「聯誼會」， 高斯也是會員之一。 設立它的用意在於拉近師生之間的距離，以免發生學生改革運動。 「聯誼會」的地點設在一位希臘已故教授的宿舍。室內放置著各種非反動性的報章、雜誌。 晚年的高斯散步到那兒，從早上十一點到下午一點，看報章雜誌是他唯一的消遣。高斯會把他要看的有關政治、經濟、文學和科學的報章雜誌以想看的順序疊成一堆放在椅子上，再坐上去以免被別人拿走，再一份一份抽出來看，必要時做做札記。 如果有學生拿走他要看的報紙，他會盯著學生看，看得那個學生慌慌張張站起來， 趕忙遞給他那份報紙。 這麼一來學生們便奉送他一個綽號：「報紙老虎」（Zeitung-tiger）了。
高斯從年輕時代一直對語文保持高度興趣。 他對德國文學與哲學很在行，而最喜愛筆名為 Jean Paul 的 Friedrich Richter （1763-1825）的作品 。 因為 Richter的人品像他的老友 Bolyai。 他讀遍與他同時代的歌德（Goethe，1749-1832）的作品，可是不喜歡，也不欣賞另一作家席勒（Schiller，1759-1805）。法國文學他念蒙田與盧梭等人的作品。俄文學則他偏愛普希金（1799- 1837）。 對英國文學他不喜歡莎士比亞，覺得莎士比亞寫的作品悲情太多。依高斯的話，「人世間悲劇已經夠多了。」他很喜愛沃爾特·斯各特（Sir Walter Scott，1771-1832）的作品。 不過高斯會在雞蛋裡挑骨頭。 他看到斯各特寫「滿月從西北方升起」大笑不已，立即改正過來，還跑遍各書店查看這一句是不是印錯了。
舒馬赫與 Lindenau 在1850年、1854年相繼過世，高斯常通信的老朋友只剩下Gerling、洪堡與Bolyai。
1854年黎曼因高斯推薦，要任職哥廷根大學的講師，高斯從黎曼提出的三個題目中挑選黎曼匆促中加上的第三個：「On the Hypothesis that Underlie the Foundat ion of Geometry（英譯）」。黎曼的演講高斯聽後讚嘆不已。不過高斯最後的科學活動是跟Gerling討論傅科鐘擺的修正問題。 看來實際又具體的問題對他來說比黎曼的抽象複雜的概念問題要輕易多了。
1854年高斯做過全身檢查，他的心臟有肥大現象，看來他的日子不多了。 但是他的健康又一時恢復過來，過後他還去聽6月10日黎曼的講師演講會，也去參加 哥廷根與漢諾瓦市間的鐵路開幕典禮。8月後他腳腫，勉強只能在屋內走動。12月7日本來以為高斯已經不行了， 但是他又好轉過來。
同年12月19日高斯的同事、生理學及動物學教授 Rudolf Wager（1805-1864）拜訪高斯。此君對宗教及靈魂等問題很有研究興趣。23日與數日後 Wagner又來看高斯。高斯的家人及朋友們很反對Wagner這個舉動。Wagner也就沒有公開他所作的筆記，一直到 Wagner 去世後才由他的遺物中找出一些記載。由其中可以看出高斯相信生命的永恆。他說：「如果沒有永恆，人世是無稽的，而整個創造是荒謬的。」
高斯一直拖到1855年2月23日清晨在睡眠中安祥去世，享年77歲。 他帶的懷表在謝世幾秒後停下，指針停在1點零5分。高斯的朋友們坐在鄰室陪伴他，讓他走完人生的這最後時刻。
1855年2月26日晨在哥廷根大學天文臺觀測所前的廣場上舉行高斯的葬禮。高斯的頭上戴著桂冠，穿著紫色大學禮袍，躺在黑色靈柩內 ，周遭環繞著早春的花朵。眾人瞻仰後靈柩由十二名專攻數學與科學的學生（其中包括戴得金） 抬到天文臺前的廣場。 面對著眾多參與者，高斯的女婿Ewald與高斯的好朋友，哥廷根大學的教授Sartorius von Waltershausen（第一位寫高斯傳記）致吊辭， 推崇高斯為無比獨特的天才，成就卓絕。葬禮後高斯被葬在哥廷根的St. Albans墓園。
高斯的腦被取下，它淨重有410克，比拜倫（63.8 ounces）的輕，而比但丁（50.2 ounces）的重。高斯的腦有許多璇紋，紋路很深。
十八
後代
高斯的小女兒 Therese 自從姐姐 Minna 在 1838年搬離哥廷根後職掌家事，照顧老祖母（1849年去世）與高斯。 她生性憂鬱，又多病痛。 在高斯去世後一年的1856年9月23日，Therese與已通信十四年的演員兼劇院導演 Wilhelm Staufenau（1809-1886）結婚， 1864年2月11日去世。Therese 沒有孩子。
高斯在德國的子孫由 Jeseph 單傳。 子孫中男丁在二次大戰中或失蹤或戰死，只有一人生還。1936年后姓高斯的人只有三人，其中一人有心理礙障。高斯三男 Eugene 對他父親一直有叛逆情結。 他幾乎燒毀所有高斯給他的信。 甚至於他分得的父親遺物，一面喬治五世頒給高斯的金章，也熔化成金邊眼鏡框來使用。Eugene 與四男 Wilhelm 壯年後在美國做生意成功，變成富翁。他們的後代興旺。
十九
結語
高斯遺留下來的文件及與他私人相關的信函，還有他出版過的書全由哥廷根大學收集，並經哥廷根皇家科學院聘請專家學者如菲利克斯·克萊因等十人從1863年至1935年才整理妥當成十二卷書出版。
高斯的座右銘是「稀少，但成熟」 （Pauca sedmatura，Fewbutripe）。 他又主張作品不應該留下鑽鑿過的痕跡，就如同一座蓋好的教堂毫不留下先前鷹架林立，辛勤勞作過的跡象般。所以高斯不多寫，但寫成的作品則以敘述簡潔、內容豐實著稱。
參考資料
[1] 數學 Seminar， 《100人の數學者》，日本評論社，東京， 1989。
[2] Tord Hall 「Carl Friedrich Gauss， a Biography」， Transleted into English by Albert Froderberg，The MIT Press，Boston，1970.
本文原載臺灣中央研究院數學研究所發行的《數學傳播》雜誌，《返樸》經授權轉載。
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