關於Pascal定理和極線的性質

2021-02-28 數學之藝術


一些圓錐曲線類問題的背景，都是極線和極點，用聯立方程暴力計算並不是本質的方式，其實那更像是驗證，而不是證明.

再寫一些關於尺規作圖的，為了申原創……

尺規作圖，即是用無刻度的直尺和圓規在有限步內作圖.

數學經過發展，一些人提出了用苛刻的條件作圖：單規作圖和單尺作圖。事實上，在平面上只要給定一個圓，那麼凡能用尺規作圖的必定也可以單尺作圖(斯坦納直尺問題)，另外，能尺規作圖的必定可以單規作圖(馬索若尼圓規問題).

另外還有很有趣的生鏽圓規問題.

崇尚精確的古希臘人，最重視尺規的應用，它不僅僅可以用在現實中，也起到了鍛鍊人的思維的作用！而且，從此問題上，能引出很多新的數學發現.

古希臘的安那薩哥拉斯首先提出作圖要有尺寸限制.他因政治上的糾葛，被關進監獄，並被處以死刑.在監獄裡，他思考改圓成方以及其他有關問題，用來打發令人苦惱的無所事事的生活.他不可能有規範的作圖工具，只能用一根繩子畫圓，用隨便找來的破木棍作直尺，當然這些尺子上不可能有刻度.另外，對他來說，時間是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺規解決問題.後來以理論形式具體明確這個規定的是歐幾裡德的《幾何原本》.由於《幾何原本》的巨大影響，希臘人所崇尚的尺規作圖也一直被遵守並流傳下來.

尺規作圖的每一個細節，無非三件事之一：找兩直線交點；找兩圓交點；找一直線和一圓的交點.更本質一些的是，尺規作圖能做到的是加減乘除和開平方，故至多能作出二次代數方程的根.於是，很多問題便不能尺規作圖，其中有三個最有名：

三等分角.

將一個已知的立方體變成體積為原來兩倍的另一個立方體.

將一個圓面積不變的化為一個正方形.

1不能是因為一般情形下三次方程的根無法作出，2不能是因為無法作出2的立方根，3更離譜了，因為需要作出一個超越數.

尺規作圖中，有一種問題最為吸引人：作正多邊形.

高斯驚嘆於，這作圖問題在過去兩千年裡居然沒有實質性的進展.在他19歲的時候,便給出了能尺規作正n邊形的等價條件:n的素因子要麼是2,要麼是互不相同的費馬素數.(這導致目前為止,能尺規作圖的最本質的正多邊形的最大邊數是65537)

本公眾號以後會講述如何作出正17邊形.(事實上,本質即是用二次根式表示出2π/n的餘弦值，此時n=17).



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