在上一段中,我們已經得到了靜電場的高斯定理,這裡再次展示其內容如下【具體可參考上一段:電通量與電場線】:
(1)式反映的是靜電場在空間某一區域的特徵。如果這個區域的範圍不斷縮小,直至趨於一點,那麼,(1)式又可以反映靜電場在空間中某一點的性質了。只不過,這時應對(1)式取體積趨近於0的極限,即
可還記得在力學中我們曾提及一個矢量算符【參考:常見力的功,勢能】:
即某處電場強度矢量的散度等於該處電荷體密度與真空電容率之比。
這個式子是不是很熟悉?在電磁學的第一段「電荷」中,我們已經展示了著名的麥克斯韋電磁方程,其中的第一個方程與這個方程已經很接近了。後續內容中計劃會對此方程式升級,到時候就會完全得到麥克斯韋方程其一。
需知,這個方程實際上是從庫侖定律加上電場疊加原理得到的。
靜電場的高斯定理處理具有高度對稱性的電場分布問題是很方便的,一般都會講三個典例。本文也在這裡作個簡單的展示。
對稱性往往可以看出。如果想要從理論上解釋,可參考趙凱華、陳熙謀《新概念物理教程·電磁學》(高等教育出版社),那裡關於對稱性的分析闡述得很系統,很詳細。(據筆者所知,多數電學類教輔關於對稱性多限於文字表述,只作簡單說明而並沒有很全面的理論支持,當然,就這一內容的分析而言不會有影響。)
首先,是均勻帶電球體的電場分布。
也就是說,均勻帶電的球體在球外空間產生的電場,與一個位於球心處的、具有相同電荷量的點電荷產生的電場相同。
那麼在球體內部呢?
同樣,根據對稱性可知距球心等距離處電場強度大小處處相等,方向沿徑向。只需在球內取一個高斯面,按照球外的分析方法,就可以得到結論,如下圖:
也就是說,均勻帶電球體,球內空間的電場強度大小與該點到球心的距離成正比。
如果把球體換成球殼,那麼球內空間的電場強度將處處為0,很容易想到吧?
接下來,看一下無限長均勻帶電細棒周圍的電場分布。
對於均勻帶電的無限長柱體,也可以用這樣的方法來求電場強度。
最後,再來看均勻帶電的無限大平面的電場分布。
這樣看來,在平面的一側,電場強度大小處處相等,方向也處處相同,這是一個勻強電場。
對於中學階段來說,靜電場的高斯定理可作為了解。但常見的這三種均勻對稱帶電體的電場分布,最好能夠掌握其結論。