材料力學知識點:卡氏定理

1、卡氏第一定理

（1）由彈性結構的應變能U等於外力功W，可得

（2）假設：僅在第i個荷載Fi的作用點產生一個δi方向位移的微小增量dδi，其他荷載作用點無位移變化，即δij=0，因此外力功的增量僅由Fi產生，即dW=Fidδi。

應變能也有相應的增量，即

（4）卡氏第一定理：彈性結構的應變能對於結構上與某個荷載Fi相對應的位移δi的偏導數，就等於該荷載的數值。

（5）適用條件：一切理想約束下的線性和非線性彈性結構。

注意：結構的應變能U等於每個杆應變能之和Ui。

2、卡氏第二定理

（1）荷載的餘功W*等於彈性系統的餘能U*，可得

（2）假設：第i個荷載Fi產生一個微小增量dFi，其他荷載值不變，即Fij=0，因此餘功的增量為dW*=δidFi。

相應地結構的餘能也有一個增量，即

（3）餘能定理

①內容：彈性結構的餘能對作用在結構上的某個荷載Fi的偏導數，就等於該荷載作用點沿該荷載作用方向的位移δi。

②適用範圍：一切理想約束下的線性和非線性彈性結構。

（4）卡氏第二定理（應用最廣）

①當為線彈性結構時，，則。

②卡氏第二定理：線彈性結構的應變能U對作用在結構上的某個荷載Fi的偏導數，等於該荷載作用點沿該荷載作用方向的位移δi。

③適用範圍：理想約束下的線性彈性結構。

注意：

（1）在卡氏定理計算中，若得正號，表示位移和荷載同向，若得負號，表示位移與荷載相反，與坐標無關。

（2）應變能要由內力或應變能密度計算出來，再由δi或Fi來套入公式中才行的。

3、單位荷載法

（1）原理

①先求導，後積分

②、、分別等於Fi=1單獨作用時產生的內力、、

Fi=1都是和荷載同一方向的。

（2）直接用單位荷載法來解。

（3）運用卡氏第二定理求位移時，當所求位移方向上不存在力的時候，採用附加力法，即在需求位移處沿位移方向加一對應的附加力，求得位移後再令附加力為零。

（4）外力若為M=Pa，求導時只能用M來表示，這是要建立出各種力之間與U的關係而不是外力之間的關係。

（5）快捷在寫出內力時可以馬上對荷載求導，然後再代入後面的積分。

（6）外力功等於構件變形能與彈性約束的應變能。

（7）對約束反力不是獨立荷載，所以要把R變成Pi的函數，再去求導偏導。

（8）兩個截面一對相反力，應變能對一對力偏導之和就是相對位移，若同一截面一對相反力，應變能對一對力偏導之和就為0。