卡氏定理的應用

應用卡氏定理求解上圖（a）中梁B端的撓度時，那麼下面的解法1中有什麼問題，錯在哪裡。

解法1：首先寫出梁的彎矩方程，x坐標如圖（a）所示

則

於是根據卡氏定理，可得B端的撓度為

在上述計算過程中有一個概念性的錯誤，在卡氏定理中認為所有載荷在加載過程中均視為獨立的變量，而不論其在加載的最終狀態在數值上可能存在任何關係，卡氏定理的偏導數計算的數學意義即指明了各載荷的變量性質及應變餘能的過程性質。在該解法中，外力偶Pl的變化依賴於集中力P，這樣就破壞了外力偶作為變量的獨立性，因而是錯誤的。

正確的解法應該考慮各個變量的獨立性：

解法2：設集中力為FB，外力偶為MB，即

如圖（b）所示，則梁的彎矩為

則

於是根據卡氏定理，可得B端的撓度為

可以將該方法推廣到在實際結構中如果所求位移處不存在與之相應的載荷時，可在欲求位移處增加一個與該位移相應的載荷F0，並將該載荷作為一個獨立變量，計算結構的應變（餘）能，再利用卡氏定理對增加的載荷F0求偏導數，在所得位移的表達式中令該F0=0即可（其餘載荷保持不變）。

例1  長為l，彎曲剛度為EI的簡支梁，若在其兩端作用大小相等方向相反的力偶M，利用卡氏定理計算A截面的轉角θA。

解：令A處的外力偶為MA，B處的外力偶為MB，如圖（b）所示

由靜力平衡條件可得

則梁的彎矩方程為

另

由卡氏定理

令上式中的

可得

例2  如圖所示，在剛架的自由端C作用沿水平方向和豎直方向的集中力，設剛架的應變能為U，若已知自由端豎直方向位移為1.0mm（方向向下），水平位移為0.2mm（方向向右），則試求應變能U對F的偏導數為多少。（全國高校第七屆基礎力學青年教師講課比賽材料力學筆試題目）

解：設作用在剛架的兩個集中力分別為FA、FB，如圖（b）所示，即

由題意可知

則

例3  圖示各梁的應變能均以U表示，對圖（a1）、（b1）、（c1）梁，試分析應變能U對P的偏導數分別對應的位移。

解：（1）

分別令B、C處的集中力為FB、FC如圖（a2）所示，即

設B、C處的線位移分別為ΔB，ΔC

則

（2）

令B處的集中力偶為MB，令C處的集中力FC如圖（b2）所示，即

設B處的角位移為θB，C處的線位移為ΔC

則

（3）

令B處的集中力偶為MB，令C處的集中力FC如圖（c2）所示，即

設B、C處的線位移分別為ΔB，ΔC

則