你也許已經聽說過著名的「三體問題」：三個質量、初始位置和初始速度都為任意值的可視為質點的天體，在萬有引力作用下會出現怎樣的運動規律。
三體問題其實是多體問題最簡單的形式，可以追溯到牛頓發現萬有引力的年代。這個問題引起了許多著名數學家的興趣，其中就包括龐加萊，但是情況似乎比大家想像的要複雜許多……
本文節選自《如果，哥白尼錯了》，湛廬文化出版。
作者: [英] 凱萊布·沙夫
譯者: 高妍
那一年是 1889 年，時年 34 歲的亨利·龐加萊（Henri Poincaré）正處於事業的上升期，這位初為人父的年輕人，作為巴黎大學新晉的教授，剛剛被選為極負盛名的法國科學院的院士。就在幾個月前的 1888 年夏季，他非常自信地提交了最終在一項大獎賽上獲勝的論文，該論文討論了數學物理中一個最為經久不衰也最具挑戰性的問題的答案。生活此時看上去如此美好。
法國數學家龐加萊，他後來提出的龐加萊猜想也成了一道懸賞解答的題目，在 2006 年得到了證明。圖片來源：Wikipedia
在 19 世紀晚期，將尚未被解答的、重要的數學問題納入比賽是非常普遍的行為，這一慣例在如今看來似乎有些奇怪（但有些經典問題仍會採用該傳統）。這個案例的特殊之處在於，這項賽事的贊助人是瑞典和挪威國王奧斯卡二世（King Oscar II）。奧斯卡二世不僅曾在烏普薩拉大學（Uppsala University）主攻數學專業，還與學術界保持著非常密切的關係。事實上，他對新創刊的瑞典數學雜誌《數學學報》（Acta Mathematica）非常感興趣，創辦該刊物的機構後來成了斯德哥爾摩大學。
在皇室贊助下舉行，且獲勝者得以將獲獎作品刊登在刊物上，這一比賽的出現只不過是時間問題。因此，1885 年，比賽主辦方發布了通知，來自歐洲各國和美國的知名數學家組成了評委。賽事要求參賽者回答由評委選擇的 4 個著名的數學問題，當然參賽者也可以選擇自己的主題。作為額外獎勵，獎項將會在 1889 年奧斯卡二世 60 歲大壽的慶典上宣布。
比賽列表中第一個問題非常著名且多年懸而未決，可簡稱為「多體問題」。該問題歷史悠久，可追溯至 17 世紀晚期，艾薩克·牛頓發現運動和引力定律的時候。牛頓定律非常清晰地闡述了行星軌道的形態，乍看上去，似乎可以應用它們計算出任何一組相互間存在引力作用的物體的運動軌跡，可以是三體、四體或者任意數n。畢竟，任一物體施加於其他任何物體上的力都將遵循牛頓的萬有引力定律。所以如果知道起始狀態，一定可以把所有物體的任意位移計算到任意的精確程度。
這對兩個物體，比如太陽和一個單一的行星來說非常簡單，但牛頓很快就意識到，對於任何一個稍微複雜一些的系統就完全不是那麼回事了（見圖 4-1）。自己竟然無法解決這個問題的事實顯然激怒了偉大的牛頓，他寫道：「如果我沒算錯，同時考慮所有運動的起因，並根據精確的規律定義這些運動，是任何人類的智力所不能勝任的。」
圖片來源：《如果，哥白尼錯了》
在經典主義裡，他非常正確。不是幾個代數算式和積分學的直接應用就能夠描繪出由萬有引力相互作用引起的多體運動的數學軌跡的。然而，儘管大師牛頓宣布無解，多體問題的證明仍然是一個尚未解決且令人揮之不去的問題。人們需要用一個合適的數學證明，也可能，僅僅是可能，用數學上更複雜的方法來找到解決之道。
從牛頓到龐加萊之間的這段時間，學界在繪製行星軌道演化這一問題上頗有進展，找到了更多更加精確的方法。18 世紀末，科學家皮埃爾·西 蒙·拉普拉斯和約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）分別發明了一種數學工具，至少可以粗略地預測多個行星數千年甚至數百萬年的運動軌跡。答案的關鍵在某種程度上源於一種技術性很強的觀點。這兩名科學家都意識到多體系統的軌道是「準周期」的：行星對行星的影響意味著，每一顆行星都不會一直在完全一致的時間內走完它的軌道。那麼利用一些數學技巧來挖掘該屬性，從而預測系統軌道演化的一般趨勢是有可能的。
這些方法的最大缺點在於無法追蹤系統運動的每個瞬間，基本上只能計算行星在一圈的運行中拉攏或擾亂其他行星的周期性的平均值。這類方法非常聰明，且被使用至今，以回答關於行星系統的大致運行軌跡，特別是短期內的運行軌跡這類問題。當時，它們也被認為是引力系統具有決定性本質的證據，是牛頓定律所定義的宇宙中的一部分。
但在表面的成功之下，它們仍然只是近似值，只是用聰明的數學技巧回答了某些問題，卻不是全部。直到 19 世紀末，人們才越來越清楚，決定行星未來運動軌跡的力的組成不能被忽視或簡化。
所以，當時已經非常有名的龐加萊看到奧斯卡二世發布的比賽，並願意挑戰第一個問題就一點也不奇怪了，因為解決這個問題將會使他流芳百世。龐加萊開始攻克這個難題時進展很快，他有一個數學證明，顯示一個物體可以決定三體系統的穩定性。更重要的是，他宣稱他能夠以任意精度計算三體的運動軌跡。雖然這隻解決了多體問題當中的三體情況，但仍然徵服了評委，而龐加萊也得到了這一賽事的獎勵。
讓他頭疼的時刻就此開始。如賽事承諾，他的獲獎論文會被刊登在《數學學報》上。但當論文被編輯並準備發布時，龐加萊開始意識到有些不對——他犯了一個嚴重的錯誤。他關於三體問題解決方法的證明是錯誤的、不成立的，他不得不告訴雜誌編輯，在證明的關鍵地方，他忽略了數學函數的幾何行為的一種微妙的可能性。
不幸的是，當他告訴編輯時，雜誌社已經印好這篇論文並將其送往世界各地了，為了補救，他們召回了所有雜誌。龐加萊不得不自付費用，而這筆費用遠超過他不久前剛從奧斯卡二世那裡獲得的獎金。可憐的龐加萊。很少有數學錯誤會造成如此大的損失。
這時出現了一道曙光——與龐加萊的經濟問題無關。龐加萊從犯錯的尷尬中走出來，並開始彌補他的錯誤。他想到了一個將產生巨大影響的分析，即多體問題可能永遠都不會有一個直接的答案。從微積分的角度而言，萬有引力影響下相互作用的三體問題是沒有可解析的積分解的，這暗示著含有更多數目的多體問題也是無解的。
根據龐加萊所述，如果一顆恆星有兩顆行星圍繞它旋轉，那麼是無法通過紙和筆計算出該系統未來（或過去）的精確軌跡的。如果是含有兩顆以上的行星、任意數 n 的多體系統，那就更加無解了。唯一可能的例外是一些非常極端的特殊情況，比如，第三個物體非常小，無法產生任何有影響力的引力作用。
這件事非常值得一提，龐加萊的新數學方法預示著下一個世紀才開始顯山露水的、隱藏在經典物理學層層迷霧之下的宇宙的另一面，而宇宙的這一特性我接下來會討論到，它就是混沌。
結果表明，當龐加萊斷言多體問題無解時，他取得了巨大的進步，但他很快發現詳細情況更加奇怪。走到發現問題根源這一步已是困難重重，而得到下一階段的答案更是花費了近一個世紀的時間。20 世紀 90 年代初期，一位名為王奎冬（音譯）的華裔數學家在該問題上做出了貢獻，他表示多體問題的確能夠有完整的代數解。然而有一個問題，而且是個非常嚴重的問題：解決方法涉及的數學術語總和有百萬級之多。也就是說，你確實能夠寫下解決多體問題引力行為的代數方程式，但可能會花費你一輩子的時間。而當你運算這些等式時，那些四捨五入的誤差卻會使答案毫無價值可言。
這是行星系統真正的基本性質的關鍵，而這一性質自從龐加萊時代起就日漸明顯：描述它們的方程無法涵蓋和控制計算中細微的不確定性，任何小數級的誤差最終都會毀掉你預測事物的能力。自然本身充滿了真正的變化，行星系統相互作用的網對這些變化有著敏銳的感知。任何一處微小塵埃，如果被給予足夠的時間，都會改變整個世界的最終軌跡。
系統以及描述系統的方程的敏感性是自然的基本特性，通常被稱為非線性，因為在對系統的任何改變和系統對此做出的回應之間不存在簡單的一對一關係。這有點像用一根棍子小心翼翼地戳一隻大狗：同樣的行為可能引起恐懼的吠叫，也可能導致憤怒的反擊——回應是非線性的。非線性系統是特殊的，因為系統會表現出混沌性。
嚴格來說，這並不是毫無原因和秩序、讓人頭痛不已的屬於惡魔的混沌，而是一種數學類型的混沌，一種可能會、也可能不會導致無序和毀滅的混沌（視最精確的細節而定）。其核心在於不可預測性，即未來情況的不可知性。所以一粒微塵、行星起伏不定的變化或者軌道中改變的位置，不僅會導致未來軌跡產生翻天覆地的變化，其軌跡也不是總能預測的。這種情況在其他許多複雜系統中同樣存在。非線性適用於地球上的氣候與天氣，以及經濟系統和期貨市場的變化，不確定性根植於系統最深處。
這種類型的混沌非常適用於行星系統，事實上，所有的行星系統都具有變得混亂的潛質。對多體問題及任意周期內軌道軌跡的計算來說，這真是禍不單行：第一，你無法列出實際可行的解決運動方程，第二，即使能解決，系統仍然會偏離軌道，變成不可預測的混沌狀態。毫無疑問而又難以忽視的真相是，龐加萊很可能樂在其中。
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16 世紀，哥白尼建立日心說，將地球從其在宇宙中的獨特地位降級為平庸之輩，開啟了一場科學革命。幾個世紀以來，這種思想一直影響著我們。然而，新近的研究結果暗示人類確實生活在一個特殊的地方，在一個特殊的時間，作為一系列不可能事件的產物。這對哥白尼的原理提出了挑戰。所以，哥白尼真的錯了嗎？
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作者: [英] 凱萊布·沙夫
譯者: 高妍
湛廬文化·浙江人民出版社
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