05-01-08_平方正比金屬繩振動周期
本期高中物理競賽試題，我們共同來研究一下簡寫振動問題中的小量忽略的問題，很多情況下，高階小量在解題過程中一般是忽略掉的，這樣的好處在於研究問題的時候可以先抓住主要矛盾進行處理，然後再引入相對的小量修正後，在原來的結果中進一步進行修正，最終得到更加貼近與真實情況下的物體問題的解，但是很多真實情況下需要考慮的修正量比較多，對於真實情況的求解往往更多的就是小量修正方法上的進一步優化和研究，當然了，這些進一步優化的過程並不需要同學們在競賽的考場上做出來，這就需要同學們在解決題目的過程中，要能夠做到合理的取捨，抓住問題的主要影響因素，解決出來，這也是物理競賽考察高階小量優化的一個主要考察目的。
當然了，一般面對高階小量的忽略問題，都需要用到一個大學的神器，這個就是泰勒展開，當然了，雖然這個泰勒展開並不是非常複雜，在理解上也不是非常困難，但這個知識點畢竟是大學內容，因此很多常見函數的泰勒展開式的前幾項還是要求同學們熟練記憶的，特別是在電學方面的題目上，更加有優勢。
試題預覽
質量為 M 的重物被一粗的金屬繩索吊住，設繩索的質量比 M 小得多，繩索從其自由長度被拉長 l 時所形成的張力大小為 βl^2 ，試求電梯在其平衡位置附近的上下振動周期。
解題步驟
方法分析
本期題目，如果不從問題入手，很難考慮到這題目考察的是簡諧振動的相關知識，因為題目中已經非常明確的說明了，力與位移的關係並不是正比的，而是平方正比關係，這樣的關係在解方程的時候，必定不會得到正弦或餘弦解的，也就是說，其運動過程必定不是簡諧振動，但是從問題出發，可以非常明確的知道這個題目是考察簡諧振動的，那就必須要將平方關係給近似到一個正比關係上來，說到這裡，同學們應該就明確了，這個題目為什麼小編能夠考慮到振動過程中任何一點的位移應該是小量的問題，並且小編在解決這個題目的時候，其實小編已經得到了後面的方程三，並通過考慮將方程三近似為正比關係，才找到了形變量與原長對比的小量關係這個突破口，當然了，找到了這個突破口後，這個題目在解決過程中，就沒有任何難點了。
其實對於這樣的受力情況下的真實運動，也應該是一個振動過程不錯，但是其振動過程應該並不是簡諧振動，其在伸長過程中速度變化的速率要遠遠大於簡諧振動，雖然小編後期沒有進一步解決這個真實情況下的解的問題，但是由生活中的實際情況出發，也是應該能夠猜測到這個重物應該是做振動的，當然了，這畢竟是一個高中題目，高中唯一學過的振動就是簡諧振動，當然還有阻尼振動，這個不提了，同學們在猜測答案的時候，也要與學習的知識相結合。