1 提出問題
玻爾氫原子模型在量子理論發展史上有著非常重要的地位，在模型中玻爾根據對應原理思想得出了氫原子軌道穩定性的量子化條件：只有電子角動量為(即約化普朗克常量)整數倍的那些軌道才是穩定的[1, 2]。根據對應原理確定某個體系的量子化能級需要知道系統軌道運動的頻率對能量的依賴關係，這通常比較麻煩，但是如果反過來，把角動量量子化條件作為出發點，往往可以比較容易求出體系的量子化能級。此外，量子化條件與經典力學並不相容，帶有一定的人為假設性質，並未從根本上解決不連續的本質[3]，因此當時的物理學家希望能對量子化條件給予更深刻的物理解釋。英國物理學家布裡淵曾設想原子核周圍存在以太波，這種波是由電子運動激發的。該波相互幹涉，只有在特定合適的軌道半徑時才能形成繞原子核的駐波，因為軌道半徑是量子化的[4]。
布裡淵的理論對德布羅意後來的工作有直接的影響。德布羅意引入相位波(現稱為物質波)的概念，拋棄了布裡淵模型中的以太概念，直接把波動性賦予電子自身。德布羅意認為可以用相位波解釋軌道穩定性的量子化條件。他在博士論文中寫道：「相位波的傳播類似於深淺程度不同的水渠中水波的傳播。……為了取穩定的狀態，……水渠的長度l必為波長λ的整數倍，……則共振條件為l=nλ。」其中n為整數。「1917年，愛因斯坦給出了一種其形式不隨坐標變換而改變的量子化條件。……適用於閉合軌道的形式，其表達式為∮pidqi=nh，積分是沿著軌道的整個長度進行的。」其中，pi為廣義動量；qi為共軛的廣義坐標；h為普朗克常量。「在玻爾原子的圓形軌道的特殊情況下，因為有v=ωR,(ω為角速度)，故有m0∮vdl=2πRm0v=nh，即這正是玻爾最初算出的簡單形式。因此，我們明白了為何某些軌道穩定的原因。」[5]其中，v是電子線速度；m0是電子質量；R是圓軌道半徑；h為普朗克常量。按照德布羅意的解釋，氫原子中的電子做圓軌道運動，其相位波形成駐波，軌道周長應等于波長的整數倍，即2πR=nλ。考慮到玻爾氫原子的第n個能級軌道半徑為rn=n2a0，可得該軌道的德布羅意波長λn為
(1)
其中a0是玻爾半徑。
儘管德布羅意利用相位波理論解釋了量子化條件，但是從後來建立的量子力學角度看，其解釋有明顯的局限性。薛丁格於1926年發表在《物理學年鑑》的第一篇論文[6]中從經典的雅可比-哈密頓方程出發，並引入作用量函數S=Klogψ(K是一常量)，利用變分法得到描述氫原子的方程：
(2)
式中，E為電子能量；e為電子電量絕對值；r為電子相對原子核的距離。在考慮函數ψ的單值性和有限性後，當E為負值時，方程(2)中E的解為
(3)
得到和玻爾氫原子模型一樣的能級。薛丁格進一步寫到：「我……最終……以上述更為中性的數學形式給出了它們，因為它揭示出了真正本質的東西。在我看來，真正本質性的東西，在於『整數』假設無須再神秘地引入量子化規則，而是通過進一步回溯問題，從而發現『整數性』根植於某個空間函數的有限性和單值性。」[6]薛丁格的解釋顯然不同於德布羅意。不僅如此，氫原子本徵態波函數ψnlm也不是動量的本徵函數，所以ψnlm的德布羅意波長沒有確定的值，而呈現一定的分布，這顯然與德布羅意的解釋不同。此外，玻爾模型中氫原子能級不存在簡併問題，而量子力學解存在簡併問題，如下文所述不同的簡併態對應的德布羅意波長分布並不一樣。
儘管德布羅意的解釋有明顯的局限性，但是我們不應該簡單地認為德布羅意的解釋是錯誤的或者純屬巧合，應該進一步探究其內在原因。量子力學的計算結果顯示玻爾氫原子模型中的半徑其實是由|Rn(n-1)r2|2得到的最概然半徑[3]，其中Rnl為徑向函數，可以看出最概然半徑僅僅取決於氫原子波函數ψnlm=Rnl(r)Ylm(θ,φ)中的徑向函數Rnl(r)部分。我們可以據此推測，玻爾氫原子模型的德布羅意波長λn=2πna0是否具有類似的最概然解釋呢？本文基於上述推測，研究了氫原子不同量子態下的徑向函數對應的德布羅意波長概率分布，發現λn有類似的最概然解釋。
2 計算、分析和討論氫原子德布羅意波長概率分布的計算過程如下：首先計算出徑向函數Rnl(r)在動量空間的表示Cnl(p)；然後計算動量在p到p+dp範圍內的概率分布|Cnl(p)|24πp2dp；最後根據德布羅意關係計算德布羅意波長概率分布。
徑向函數Rnl(r)由坐標表象到動量表象的變換關係為[7]
(4)
其中jl是球貝塞爾函數。參考文獻資料的一般做法，下面只列出n=1、2、3的計算結果，相應徑向函數有6個：R10、R20、R21、R30R31、R32。計算結果顯示上述徑向函數對應的德布羅意波長概率分布的極值個數並不相同，據此可將這6個態分為兩類：第一類是R20、R30、R31，在λ∈(0,∞)範圍內，德布羅意波長概率分布有多個極大值，這類情況與我們要討論的問題無關，所以不再列出它們的具體計算結果；第二類是R10、R21、R32，在λ∈(0,∞)範圍內，德布羅意波長概率分布只有一個極大值，這類情況與我們要討論的問題密切相關。為什麼它們只有一個極大值呢？這源於氫原子徑向函數的自身特點。氫原子的徑向函數可以寫為[3]
(5)
其中u(r)滿足方程
(6)
函數u(r)，進而徑向函數Rnl(r)的行為由徑向量子數nr決定[3]。由於nr=n-l-1，所以第二類徑向函數有nr=0，此時的徑向函數可表示為
(7)
在r∈(0，∞)範圍內，是減函數，而是增函數，因此Rn(n-1)是個先增後減的函數，故有一個峰值，相應的在λ∈(0，∞)範圍內λ只有一個極值。
徑向函數R10、R21、R32表示如下：
(8)
相應的球貝塞爾函數表示如下：
(9)
根據公式(4)，徑向函數R10 在動量空間的表示，即動量概率振幅為
(10)
動量的大小在p～p+dp範圍內的概率為
(11)
由德布羅意關係可得德布羅意波長在λ～λ+dλ範圍內的概率為
(12)
在λ∈(0，∞)範圍內，當λ=2πa0時w10(λ)有最大值，即R10的最概然德布羅意波長λp1=2πa0，等於公式(1)所示的玻爾模型基態(n=1)時的德布羅意波長λ1。
同理可得R21的動量概率振幅：
(13)
則動量大小在p～p+dp範圍內的概率為
(14)
可得德布羅意波長分布的概率密度為
(15)
在λ∈(0，∞)範圍內，R21態的最概然德布羅意波長λp2=4πa0，等於玻爾模型第一激態(n=2)的德布羅意波長λ2。
最後，R32態的動量概率振幅：
(16)
動量大小在p～p+dp範圍內的概率為
(17)
可得德布羅意波長分布的概率密度為
(18)
在λ∈(0，∞)範圍內，R32態的最概然德布羅意波長λp3=6πa0，它等於玻爾模型第一激態(n=3)中電子的德布羅意波長λ3。
3 結論綜上所述，可得出結論，德布羅意對玻爾氫原子模型解釋中的德布羅意波長在物理實質上對應於氫原子量子態中徑向函數Rn(n-1)(即徑向量子數nr=0)的最概然德布羅意波長。
參考文獻
[1] 玻爾. 玻爾講演錄[M]. 戈革，譯. 北京：北京大學出版社，2017.[2] 德布羅意. 德布羅意文選[M]. 沈惠川，譯. 北京：北京大學出版社，2012.[3] 曾謹言. 量子力學卷I[M]. 北京：科學出版社，2013.[4] 郭奕玲，沈慧君. 物理學史[M].北京：清華大學出版社，1993.[5] 德布羅意. 德布羅意文選[M]. 沈惠川，譯.北京：北京大學出版社，2012.[6] 薛丁格. 薛丁格講演錄[M]. 範岱年，胡新和，譯.北京：北京大學出版社，2007.[7] 張永德，張鵬飛，劉乃樂，等. 物理學大題典量子力學(上冊)[M]. 北京：科學出版社，2018.作者簡介: 雷勇，男，南京信息工程大學講師，主要從事物理教學科研工作,研究方向為寬禁帶半導體功率器件，leiyong@nuist.edu.cn。引文格式: 雷勇. 玻爾氫原子模型中德布羅意波的最概然解釋[J]. 物理與工程，2020，30(3)：44-46.
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