【物理數學】解微分方程為什麼會出現個e?

2021-02-19 環球物理

Q：

解微分方程為什麼會出現個e？

比如一解線性的情況 今天突然想起 是不是因為x加1分之一的極限是e 但為什麼是e呢。好突兀啊

A：

你搞不懂的原因就是-你懂的太多了...

想像你生活在那個微積分初創的年代，你還不知道什麼通解公式之類的玩意兒,自然常數 e 還未曾知曉...

你是一個站在時代前沿的數學家，你想知道微分方程：

的解.

你覺得可以有一個性質良好的函數作為解，比如在上解析...

於是你可以在原點將這個函數展開：

因為上解析嘛，所以上光滑，求導得：

然後代入得：

要使得等式恆成立，所有項數都應該是 0

上面一個遞推式直接迭代可以解得：

也就是說解可以寫成：

的形式...

後來發現每次都要寫這麼一坨級數太煩了，經過研究發現定義

能減少很多麻煩.

然後進一步定義歐拉數

這個函數性質很好，可以把加法變乘法：

>>級數絕對收斂時算符可以交換

人們知道有這種性質的可以叫指數函數，於是，最後定義自然指數函數為

所以不是為什麼出現了個 e，出現的是 

至於為什麼會出現，樓上說的很明白了.

因此指數函數是求導算子的特徵函數-算子作用於函數後的不變量，求導仍是本身.

這個和線性代數裡矩陣與特徵值是相似的...

特徵值是矩陣變換後的基，特徵函數也是算子變換後的基...

至於基為什麼這樣...唉...捉雞啊...這可以另開一個問題了...

再舉一個例子，把傅立葉變換看成一個算子，其特徵函數(之一)為

所以傅立葉變換裡這個東西經常出現...

沒有也正常，因為傅立葉變換的特徵函數可以長得很不一樣，比如，這倆也是.

本文來自醬紫君：

https://www.zhihu.com/question/33177784/answer/237992320

往期精彩回顧

愛因斯坦如何迷失方向，以及他們與廣義相對論

為什麼總說量子力學很奇怪？

當愛情遇上物理

新世界的非凡軌道指向行星九

勾起很多人回憶！還記得你上大學都帶了什麼嗎？

河流為什麼是彎曲的？

2018年「全球十大突破性技術」 ！

無人機拍到從未曝光的野長城，太震撼了！

      環球物理，以物理學習為主題，以傳播物理文化為己任。專業於物理，致力於物理！以激發學習者學習物理的興趣為目標，分享物理的智慧，學會用物理思維去思考問題，為大家展現一個有趣，豐富多彩的，神奇的物理世界！

諮詢電話：010-56143955   010-56143855

投稿請聯繫 14511055@qq.com

地址：北京市海澱區蘇州街名商大廈1101環球物理

參加物理集訓營撥打諮詢電話，短期高效提高物理！歡迎撥打諮詢電話：13581994719

相關焦點

  • 常微分方程的級數解
    如果方程中只含有對未知函數的一個自變量的導數，這個方程就被稱為常微分方程，如果方程中含有對未知函數的多個自變量的導數，這個方程就是偏微分方程。求解微分方程的基礎是求解常微分方程，含有任意個自變量的偏微分方程可以通過某種途徑轉化成多個常微分方程。在常微分方程中，最常見的是二階常微分方程，即含有對未知函數的自變量求二階導數的微分方程。
  • 描述物質運動變化的數學學科:常微分方程、偏微分方程
    常微分方程 　　如果微分方程中出現的未知函數只含一個自變量，那麼該類微分方程就是常微分方程。常微分方程的通解構成一個函數族，主要研究方程或方程組的分類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等內容。
  • 微分方程:極富生命力,包羅萬象的數學分支
    常微分方程如果微分方程中出現的未知函數只含一個自變量，那麼該類微分方程就是常微分方程。常微分方程的通解構成一個函數族，主要研究方程或方程組的分類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等內容。偏微分方程如果一個微分方程中出現多元未知函數的偏導數，那麼這就是偏微分方程。偏微分方程作為一門學科產生於18世紀對振動弦問題的研究。在科學技術飛速發展過程中，更多的問題無法用只含一個自變量的函數來描述，多個變量的函數來描述才更合適。
  • 系列14 解微分方程
    freexyn編程實例視頻教程系列14Matlab解微分方程1.主要內容（1）運用Matlab編程求解微分方程
  • 2018考研數學微分方程
    考研數學：考研數學複習先了解考察特點，命題趨勢，再對症下藥的複習，這樣才能提升效率。本文為廣大考生整理2018考研數學微分方程，更多考研數學怎麼複習、考研數學題型、考研數學大綱、考數學試題等備考資料，歡迎訪問北京研究生招生信息網。
  • 常微分方程:線性微分方程解的三個重要特徵
    前一篇《帶你走進微積分的堂學習：一階線性微分方程式的基礎原理》詳細討論了線性微分方程的結構以及通解特性，本篇我們藉此機會指出一階線性微分方程解的三個重要特徵1）有一階線性微分方程>的通解是可以看出，它等於（1）的一個特解（對應於上式的C=0）再加相應的齊次線性（2）的通解，因此如果求得非齊次線性微分方程（1）的一個特解為y=φ1(x)和相應的齊次線性方程（2）的通解，則(1)的通解為2）設a(x)和b(x)在區間α<x<β上連續，則由上述通解公式可知
  • 偏微分方程 學習筆記
    有一句話叫做「數學是大自然的語言，而偏微分方程則是大自然的語法」，從此足以看出偏微分方程在自然界中的廣泛應用。無論是工程領域，量子領域，還是金融領域等，都有著偏微分方程的影子。偏微分方程理論研究的發展，更是衍生出了一系列新的研究領域，例如金融工程這一學科，開始獨立於傳統的金融學，就得益於偏微分方程應用到了期權定價當中，從而催生出了現代金融理論。
  • 偏微分方程的數值解之偏微分方程的定解問題
    這些規律的定量表述一般地呈現為關於含有未知函數及其導數的方程。我們將只含有未知多元函數及其偏導數的方程，稱之為偏微分方程。方程中出現的未知函數偏導數的最高階數稱為偏微分方程的階。如果方程中對於未知函數和它的所有偏導數都是線性的，這樣的方程稱為線性偏微分方程，否則稱它為非線性偏微分方程。初始條件和邊界條件稱為定解條件，未附加定解條件的偏微分方程稱為泛定方程。
  • 考研數學解析之高數微分方程與無窮級數
    一、微分方程　　微分方程可視為一元函數微積分學的應用與推廣。該部分在考試中以大題與小題的形式交替出現，平均每年所佔分值在8分左右。常考的題型包括各種類型微分方程的求解，線性微分方程解的性質，綜合應用。
  • 2017考研數學之微分方程解的結構
    微分方程是高等數學的重要組成部門，無論對於數一數二，還是數三，每一年都會考察，並且題型不定，會出現選擇題，填空題，也會出現解答題。對於微分方程這一部分，總的解題思路是首先判斷微分方程的形式和結構，如是否為線性方程，齊次方程等等，是一階、二階還是更高階的方程；然後根據方程的形式和結構來求解方程。
  • 2016考研數學高數考點:微分方程與無窮級數
    今天精心準備了高數微分方程與無窮級數部分考點分析，希望能夠幫助大家。 　　▶微分方程 　　微分方程可視為一元函數微積分學的應用與推廣。該部分在考試中以大題與小題的形式交替出現，平均每年所佔分值在8分左右。常考的題型包括各種類型微分方程的求解，線性微分方程解的性質，綜合應用。
  • 2019數學建模國賽|Matlab 求解微分方程(組)
    2.函數 dsolve 求解的是常微分方程的精確解法，也稱為常微分方程的符號解.但是，有大量的常微分方程雖然從理論上講，其解是存在的，但我們卻無法求出其解析解，此時，我們需要尋求方程的數值解，在求常微分方程數值解方面，MATLAB 具有豐富的函數，將其統稱為 solver，其一般格式為：           [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)
  • 2020考研數學高數要掌握的核心知識點梳理:微分方程
    2020考研數學高數要掌握的核心知識點梳理：微分方程 2019-05-01 14:51:26| 來源：廣東考研信息
  • 微分方程篇:為你構建微分方程框架
    考研數學中，總分150分，而微分方程大概能佔到10分左右，這是考研大綱中的出現的。一般考研中微分方程要麼是填空，要麼就是大題，所以就沒有了蒙的可能，這也就表示大家要想拿到這部分分就要自己弄懂了。在考研中這部分知識佔分不大，但是高數下半學期期末考試這可是重頭戲，所以大家想要拿到高分的話就要加油了。
  • Facebook這個神經網絡用自然語言表示數學式,秒解微分方程!
    而他們的方法本質上是將數學視為一種自然語言。下一步就是訓練過程，這需要大量的數據來學習。Lample 和 Charton 通過從二元運算符庫（如加法、乘法等）、一元運算符庫（如cos、sin和exp）以及一組變量、整數和常數（如π和e）中隨機組合數學表達式來創建新的資料庫。他們還限制了樹的內部節點數量，以免方程變得過於龐大。即使節點和數學組件的數量相對較少，可能的表達式也是很多的。
  • 偏微分方程:一門揭示宇宙奧秘、改變世界面貌的科學
    這樣來界定偏微分方程，其研究的目標和對象就太寬泛了，很難得到深入的結果。其實，偏微分方程這門數學學科的出現和興起，並不是從偏微分方程的上述廣泛的定義出發的，恰恰相反，是源於實踐及應用需要的驅動，才使少數一些具特殊類型的偏微分方程引起了人們普遍的關注，成了反覆深入研究的對象，從而逐漸形成了氣候，而對其他種種 「可能」 出現的偏微分方程卻根本置之不顧。
  • 拆分——線性微分方程的解的結構
    話不多說，這篇文章算是微分方程這一章難點的開頭了。我們現在來複習線性微分方程的解的結構。這裡主要討論二階線性方程，並且考試中也只會出現二階，不會考到三階及其以上線性方程的。（不過因為遇到的題目是二階的，那麼通解就只有兩個函數，所以這裡不是很重要）若D=0，則線性相關若D不=0，則線性無關定理一：其實就是兩個函數都是微分方程的就，那麼這兩個函數的和也是這個微分方程的解。
  • 微分方程3,一階線性微分方程,絕對值可以不加
    微分方程是一門比較高深的學問，很多微分方程比較難解，有的研究數學的人一輩子就求解1個微分方程。很多實際的物理過程都歸納為微分方程關係。我們本科階段，對微分方程的掌握要求不高，就是常見的幾個類型，掌握其求解方法、套路即可。大家如果考過了大學《高數》期末考試，並且還有點印象，應該會記得，微分方程這一章就是幾個公式，背一背就可以。我們考研也差不多。不過我們還是希望形象、趣味、透徹的把原理、公式講清楚，歡迎大家把自己困惑的點留言，我會做出更多系列基礎視頻，來逐個講解。
  • 【暑期必備46個知識點:26】:二階常係數線性微分方程
    我是資深數學家老編~視頻索引：本知識點的視頻講解位於宇哥2019考研數學網協班中基礎班第五講：二階常係數線性微分方程01 12:34-36:06今天是微分方程的最後一節，講的也是微分方程最難的部分，二階常係數線性微分方程，當然說它難，也是紙老虎，因為「一個蘿蔔一個坑」，每類題型都有固定的套路。
  • 微分方程2,齊次方程,強迫症福利
    ，強迫症福利【小元老師】考研數學，高等數學主要內容：對於齊次方程，先整理（像強迫症一樣），再變量替換，化為可分離變量微分方程，兩個例題。微分方程是一門比較高深的學問，很多微分方程比較難解，有的研究數學的人一輩子就求解1個微分方程。很多實際的物理過程都歸納為微分方程關係。比如大家愛談論的相對論和量子力學，相對論裡面就有一個引力場方程，是2階的偏微分方程，求解難度很大，愛因斯坦就是做了一個錯誤的宇宙常數假設，導致了結果沒有符合實際情況。量子力學也有很多微分方程，這些在普通人眼中就像天書一樣，難以理解。