初中數學初二上冊《全等三角形》利用「旋轉法」構造全等三角形

利用「旋轉法」構造全等三角形

如圖，已知點E,F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，並且AF平分∠EAD。

求證：BE+DF=AE

1、要證明的BE和DF不在同一條直線上，因而要想辦法將他們「組合」到同一條直線上。怎麼做呢？我們可將△ADF繞點A順時針旋轉90°到△ABG的位置，則△ADF≌△ABG，利用「全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等」可以得到：DF=BG、∠AFD=∠G、∠FAD=∠GAB。

2、此時觀察圖形可以發現BE+BG=BE+DF=GE。現在我們來證明AE=GE。由條件AF平分∠EAD可得到結論：∠FAD=∠FAE=∠GAB。觀察圖形可以發現∠GAB+∠BAE=∠FAE+∠BAE，即∠GAE=∠BAF。

3、因為四邊形ABCD是正方形，所以AB∥CD。根據「兩直線平行，內錯角相等」得到結論：∠BAF=∠AFD。再根據∠GAE=∠BAF，∠AFD=∠G推出∠GAE=∠G，所以△EAG是等腰三角形，從而AE=GE=BE+BG=BE+DF，即BE+DF=AE。

證明：

將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，則△ADF≌△ABG

∴DF=BG （全等三角形的對應邊相等）

∠AFD=∠G （全等三角形的對應角相等）

∠FAD=∠GAB （全等三角形的對應角相等）

∵BE+BG=GE （觀察圖形可以發現）

∴BE+DF=GE （等量代換）

∵AF平分∠EAD

∴∠FAD=∠FAE （角平分線的定義）

∵∠FAD=∠GAB

∴∠FAE=∠GAB （等量代換）

∵∠GAB+∠BAE=∠FAE+∠BAE （觀察圖形可以發現）

∴∠GAE=∠BAF （等量代換）

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB∥CD （正方形的對邊互相平行）

∴∠BAF=∠AFD （兩直線平行，內錯角相等）

∵∠GAE=∠BAF

∠AFD=∠G

∴∠GAE=∠G

∴△EAG是等腰三角形

∴AE=GE

∵BE+DF=GE

∴BE+DF=AE

小結：本題利用旋轉巧妙地將兩條分離的線段連接在一起從而的證，用旋轉構造全等三角形是經常用到的方法。如果您認為我的分析對您有些幫助，請把文章分享給您的同學和朋友們。