初中數學乾貨:全等三角形輔助線難題突破

2020-12-06 雲界教育

全等三角形是初中學習非常重要的一部分，月考、期中期末考，還有競賽都有全等的題目。深入全等，你會發現，全等的輔助線是非常重要的一部分。

三角形中常見輔助線的做法有以下幾種：

截長法與補短法。具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明．這種作法，適合於證明線段的和、差、倍、分等類的題目。遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的「旋轉」。過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的「平移」或「翻轉摺疊。遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用「三線合一」的性質解題，思維模式是全等變換中的「對摺」。遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的「對摺」，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理。特殊方法：

在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答。

1、如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=AE，∠BAE=30°。求證：BE=CE。

思路點撥

看到這樣一個圖形以及證明的BE=CE，很多同學直接想到找出∠EBC=∠ECB，而題目中給出了大量的角度關係，就想通過計算得出兩角相等，但根據目前所學知識，這是無法直接求出的。看到為30°的∠BAE，你是不是想到了上一題出現的60°呢？不妨做個直角試試。

技巧提示

觀察圖形，字母標號順次為：A-B-C-E，中間少了D點，這可能是命題者選圖時不小心犯下的錯誤，少了的點，也提醒著你要做輔助線解決此題。

解析：

過A作AD∥BC且AD=BC

.連接CD、DE.

（如圖）

∵△ABC為等腰直角三角形

∴AB=BC

∴四邊形ABCD為正方形

∴AB=AD，AB=DC，

∠BAD=∠CDA=90°

又∵AB=AE

∴AE=AD

又∵∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°

∴△ADE為等邊△

∴AE=DE，∠ADE=60°

∴∠CDE=∠BAE=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°

在△ABE與△DCE中

AB=DC

∠BAE=∠CDE=30°

AE=DE

∴△ABE≌△DCE

∴BE=CE

總結：是不是難度更加增大了呢？這道題也利用了一個等邊三角形來輔助證明全等。通過兩題輔助線作法，概括起來，看到30°想到作直角，看到60°想到作平行線。值得一提的是，這道題中的等腰直角三角形被我們用輔助線把它補成了一個正方形，這種方法叫做補形法，但這種方法常常對於一些特殊圖形，這道題我們將一個規則的三角形補出來，主要是利用直角構造60°，從而構造等邊三角形。看看這道題的條件，是不是非常的集中呢？然而，我們在證明時，又要把這些條件轉換出去，這就是我們在例1所提到的集散思維中的集中思維。有了這樣的思維，我們做輔助線就不會盲目。

2、如圖，已知AB=CD=1，∠AOC=60°。求證：AC+BD≥1.、

思路點撥

解答此題的關鍵在於如何轉換條件。先由證明結論：AC+BD≥1入手，自然考慮將AC、BD放到一個三角形中，再由三角形中「兩邊之和大於第三邊」即可證出結論。而圖中又沒有與AC相等的線段。又想到有60°這個特殊角，故作平行線解決此問題。

解析：

過B作BE∥AC

且BE=AC.連接CE、DE.

（如下圖）

∴ACEB為平行四邊形

∴AB=CE且AB∥CE

∴CE=CD=1,∠DCE為等邊△.

∴DE=DC=1

在△DEB中，

DB+BE＞DE（點撥：D、B、E三點可能共線，故可等於）

∴DB+BE≥DE

∴AC+BD≥1

總結此題雖然不算是一個全等的題目，但為我們之後的題目做了鋪墊——通過這個題目，可以總結出：在證明一些邊的關係時，我們可以採用作平行線的方法，並且有可能要構造一個等邊三角形。這道題的條件是比較分散的，我們做平行線的主要目的是將它們集中在一個三角形內，這個思維方式我們叫做——分散思維，在初中幾何的學習中，集散思維（集中、分散）是一個必不可少的要點。

是不是覺得這樣的方法十分巧妙呢？建議再做幾道相關輔助線的例題，熟能生巧。

思考練習

1、旋轉

如圖，三角形ABC是邊長為3的等邊三角形，三角形BDC是等腰三角形，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB於點M，交AC於點N，連接MN，則三角形AMN的周長為？

2、倍長中線（線段）造全等

如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BAE. >BE+CF與EF的大小.

3、藉助角平分線造全等

如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB於E，DF⊥AC於F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.

4、平移變換

如圖，在△ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.

5、截長補短

如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：∠A+∠C=180

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