「持續更新」全等三角形常見輔助線:截長補短法 - 勤十二談數學

2021-01-08 勤十二談數學

全等三角形是我們初二學習的第一個重難點，在中考中佔有一定的比重。雖然我們在初一學習了幾何知識，也學習了部分證明過程，但是全等三角形才開始真正的進入幾何與證明。在剛學習全等三角形的時候，建議同學們把過程寫的完整點，理由也寫在每一步的後面，按照證明全等的步驟把三個條件按定理排列好用大括號括起來。當然，全等三角形中，除了要掌握常規的定理外，還需要了解一些輔助線的作法。截長補短法常用來解決線段和差之間的關係，如果題目中出現了線段和差，我們可以試著用截長補短法來做。

截長法：在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等.

補短法：（1）延長短邊。（2）通過旋轉等方式使兩短邊拼合到一起。

例題1：如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P為AD上任意一點。求證：AB-AC＞PB-PC

【分析】這是一道很典型的利用截長補短法來證明的題目。要證明AB-AC＞PB-PC，應該可以想到，這邊可能會用到三角形三邊之間的關係（兩邊之和大於第三邊、兩邊之差小於第三邊），所以我們要學會轉化，把這四條邊轉化到一個三角形裡面去。那我們怎麼轉化呢？發現AB邊比AC邊長，並且要求兩條線段的差，所以我們可以在線段AB上截取一段AN，使得AN=AC，那麼NB的長度就是AB與AC的差。

既然線段AC比線段AB短，那我們也可以延長AC，去構造AB-AC

我們可以看幾道具體的題目，來檢驗下自己是否真正掌握。

截長補短法是全等三角形中常見的一種輔助線的方法，常用來解決線段的和差問題，在後面的學習過程中，我們還會遇到它，它也可以和四邊形、圓等知識點結合在一起考察我們。

相關焦點

  • 初中數學全等三角形輔助線的幾種作法,家長可以保存給孩子
    小仙的所在城市，初中版本數學教材用的是北師大版，全等三角形是在初一下學期開始學習的，人教版是在初二。說是話，證明三角型全等的知識點並不難，即使算上直角三角形全等證明方法，其實總共才有5種（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）。
  • 初中數學三角形全等的判定+性質+輔助線技巧都在這裡了!
    ②全等三角形的周長、面積相等。　　③全等三角形的對應邊上的高對應相等。　　④全等三角形的對應角的角平分線相等。　　⑤全等三角形的對應邊上的中線相等。　　3　　找全等三角形的方法　　(1)可以從結論出發，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；　　(2)可以從已知條件出發，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；　　(3)從條件和結論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；　　(4)若上述方法均不行，可考慮添加輔助線
  • 全等三角形證明方法歸納,典例詳解幾種輔助線做法,含思路分析
    全等三角形的應用：運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，同時能通過判定兩個三角形全等進而證明兩條線段間的位置關係和大小關係．而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎．在證明的過程中，注意有時會添加輔助線。以下通過典型例題的方式詳解五種常見輔助線的做法。
  • 初中數學乾貨:全等三角形輔助線難題突破
    全等三角形是初中學習非常重要的一部分，月考、期中期末考，還有競賽都有全等的題目。深入全等，你會發現，全等的輔助線是非常重要的一部分。三角形中常見輔助線的做法有以下幾種：截長法與補短法。遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的「旋轉」。過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的「平移」或「翻轉摺疊。
  • 九年級數學,阿基米德折弦定理,截長補短法的應用
    截長補短法是全等三角形中的重要輔助線之一，因為在其它幾何題中應用較少，很多同學學完後就忘記了。但是，在圓中，也有不少題目可以與截長補短法結合考查。截長補短法的顯著特點就是證明：AB+CD=EF，這種類型的題目，當然也可能與勾股定理相結合，比如證明AB+CD=根號2EF等等。
  • 全等三角形太難了?那是因為你還沒有掌握這些常見模型和輔助線
    全等三角形是初中幾何的開端，其它幾何知識都可以與其相結合進行考查。全等三角形有些題目具體很強的技巧性，如果第一次遇到可能沒有多少頭緒。特別是一些需要添加輔助線的題目，沒有掌握作輔助線的方法，很難做出題目。如果問全等三角形有哪些性質？
  • 初中數學:19種有關三角形的輔助線方法歸納,結合例題實戰演練
    初中數學：有關三角形的輔助線方法歸納，共是19種類型，結合例題實戰演練，適合想要提升自己解題能力的同學。輔助線的使用對大部分初中同學來說是難以逾越的一條鴻溝，難度大，無從下手已經成為常態，今天唐老師帶大家一起搞定三角形有關的輔助線使用方法。
  • 初二上學期,以角平分線為對稱軸構造全等三角形,常見輔助線之一
    首先有角平分線的性質定理和判定定理，這也是角平分線很常見的輔助線之一。角平分線上的點到角兩邊的距離相等，過角平分線上任意一點作角兩邊的垂線，得到垂線段相等。再有三線合一，也是看到角平分線需要的想到的輔助線之一。在等腰三角形中，頂角的平分線、底邊上的高線與底邊上的中線重合，這也是等腰三角形中很重要的一個結論。
  • 「中考數學」與全等三角形有關的證明與計算
    與全等三角形有關的證明與計算是中考命題的熱點，也是解答諸多幾何綜合題的關鍵知識，想要在中考取得好成績，全等三角形不容小覷。「七嘴八舌」說考情陝西、雲南說：在解答題中考查，以三角形或四邊形為背景，直接證明三角形全等或通過三角形全等證明角相等、線段相等或平行。
  • 八年級數學,全等三角形你不能錯過的精彩(超全基礎模型)考神附體
    這裡總結一下目前武漢市場上各種數學輔導資料，包括但不限於（qxz、xgc、xdl、cjkt、zndsc等），這些資料的質量上和口碑上都是非常牛的，這個帖子，就是希望更多的家長和同學在八年級學習全等的時候避免走些彎路。
  • 全等三角形動點問題,化動為靜,分類討論,學會解題方法
    全等三角形太難了？那是因為你還沒有掌握這些常見模型和輔助線全等三角形模型之倍長中線法，三種添加輔助線的方法，口訣突破全等三角形之截長補短法，遇到AB+CD=EF這類題目怎麼辦？幾何動點問題充分體現了數學中的「變」與「不變」的和諧統一，其特點是圖形中的某些元素或某部分幾何圖形按一定的規律運動變化，從而引發其它一些元素的數量、位置關係、圖形面積等發生變化。全等三角形動點問題將幾何與代數相結合，考查數形結合思想、分類討論思想，題目靈活多變，綜合性強。
  • 一次函數中的K型圖,解題的關鍵在於輔助線的添加,有難度
    在全等三角形的輔助線中，我們著重介紹了K型圖。K型圖的最直接的模型就是三垂直圖，三垂直圖也有多種變化，我們常見的有內K圖和外K圖，比如弦圖。然後可以將90°的角變化成任意的角度，常見的有60°、120°等。
  • 如何添加輔助線是初中數學的難點?已知角平分線有這四種思路
    初中幾何問題的難點在於添加輔助線，就全等三角形這章而言，添加輔助線的主要目的是構造全等三角形。所以當已知條件中出現角平分線時，我們不難想到添加輔助線的常見方式有以下四種類型。這題已經有角平分線到角一邊的垂線，只需要作出到另一邊的垂線，就可以應用角平分線的性質或者全等三角形的性質。連接OA，過點O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為E、F。因為BO是∠ABC的平分線，且OD⊥BC，OE⊥AB，所以OE＝OD＝1.8 cm；同理OF＝OD＝1.8 cm。
  • 初中數學:用「倍長中線法」作輔助線解幾何題
    三角形是初中數學裡最基本的幾何圖形，而其邊上中點，又是很常見的條件。當涉及三角形中點或中線問題時，常採用延長中線一倍的辦法，即倍長中線法，來作輔助線解題。好處是通過此法構造全等三角形繼而得到平行，可將分散的條件集中在一個三角形內解題，常常出奇制勝，化腐朽為神奇。
  • 初中幾何輔助線口訣,太有才了!不過只能當作參考
    初中幾何在中考數學中佔「半壁江山」，初中幾何的成敗決定了初中數學的成敗。而添加輔助線又是決定初中幾何成敗的關鍵，在數學圈都流傳「得輔助線者得幾何，得幾何者得初中數學」的說法。為了幫助初中省更好地掌握幾何輔助線的添加技巧，有人總結了三角形、四邊形、圓等幾何圖形中常用輔助線，並且把它們總結成歌謠的形式，以方便記憶。這首歌謠概括了三角形中添加輔助線的幾種常見方法，方法一：已知條件有有角平分線，可以過角平分線上的點作角兩邊的垂線，也可添加角一邊的平行線。方法二：已知條件中有垂直平分線，常過連接垂直平分線上的點與線段的兩個端點。
  • 五種全等三角形輔助線作法,見招拆招,解決幾何難題的好幫手
    本篇我們來探討一下涉及全等三角形的幾何解答題，作為中考的重點難點，幾何證明或者計算一直是眾多同學心中的刺。特別是在原圖上無論怎麼比劃都無法找到解題之路的時候，都開始懷疑人生了。這時候，我們應該要想到一個好幫手——幾何輔助線。
  • 八年級數學期中考,我只複習這7個題型,不清楚考試重點的快收藏
    初中各校將在10月下旬陸續舉行期中考試，八年級的小夥伴是否為複習八年級數學煩惱呢？按人教版八年級上冊數學教學大綱要求，期中考主要考《三角形》、《全等三角形》和《軸對稱》這三章，這三章有哪些重要的考點和難點，我總結了六個高頻考點和一些經典例題，希望能幫助到你。
  • 初中數學有關三角形中線角平分線一些常見輔助線題目做法講解
    我們在做數學證明題或者計算題時候，經常需要做輔助線，有些題的輔助線很好做，根據已知條件很簡單就能做出來，但是有些題目，我們需要很長的時間才能找出輔助線的做法，但是數學是一門學科，經過這麼多年的發展，出現了一些經典的題目，我們經常總結就會發現一些題目常用的輔助線做法。
  • 全等三角形常用的五種輔助線,學好幾何的一把鑰匙!
    全等三角形綜合題十之八九都離不開輔助線，所以掌握全等三角形這章常用的輔助線就等於擁有解決問題的金鑰匙。對於全等三角形的輔助線常用的有以下五個類型，至於選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。遇到三角形的中線，作倍長中線是常用的思路。這題可延長ED至點M，使DE=DM，再連接MC和CF，通過構造出來的全等三角形和垂直平分線的性質把線段BE、CF、EF轉化到同一個三角形中即可求解。角平分線上的點到一個角兩邊的距離相等，垂直平分線上的點到一條線段兩端點的距離相等。
  • 全等三角形也有難題?老師直言:期中考不注意這些題,要吃虧
    八年級數學期中考試主要考查內容為全等三角形，對於數學成績中上水平的學生來說，影響成績的題常常是些出乎意料的題。根據我近十多年的經驗，給大家總結了幾道非常規題及解題策略，希望能幫助大家樹立信心。絕大多數學習只知道用全等三角形的性質；卻不知等面積法也是一種應該掌握的思路。需用等面積法證明線段相等的題常跟角平分線綜合，我們常需要過角平分線上的點作兩邊的距離。當然，在用等面積法時，我們還需要知道角平分線性質的逆定理：到一個角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。