全等三角形動點問題,化動為靜,分類討論,學會解題方法

前節提要：

全等三角形太難了？那是因為你還沒有掌握這些常見模型和輔助線

全等三角形模型之倍長中線法，三種添加輔助線的方法，口訣突破

全等三角形之截長補短法，遇到AB+CD=EF這類題目怎麼辦？

幾何動點問題充分體現了數學中的「變」與「不變」的和諧統一，其特點是圖形中的某些元素或某部分幾何圖形按一定的規律運動變化，從而引發其它一些元素的數量、位置關係、圖形面積等發生變化。全等三角形動點問題將幾何與代數相結合，考查數形結合思想、分類討論思想，題目靈活多變，綜合性強。在解題過程中要善於抓住題目中的「變」與「不變」，以「不變應萬變」。

具體分析動點問題時，需要先研究背景圖形，再分析運動過程，動點在運動的過程中不僅僅改變線段的長度，有可能還會和動點相關的圖形的形狀。在研究動點前，先找到動點的起始位置和終點位置，確定動點運動時間，求解時若得到的解不在運動範圍內，需要捨去。然後找到在運動的過程中的轉折點，通過轉折點的時間，將總時間進行分段，從而達到化動為靜的目的，在每一時間段內研究問題。

我們舉一個例子，來分析如何處理處理動點問題。

已知：如圖，在長方形ABCD中，AB=6釐米，BC=9釐米．點P從點A出發，沿AB邊向終點B以1釐米/秒的速度移動，同時點Q從點B出發沿折線BC—CD向終點D以3釐米/秒的速度移動，連接PQ。如果P，Q兩點同時出發，當其中一點到達終點後，另一點也隨之停止運動，設點P的運動時間為t秒。

本題有兩個動點，分別為點P與點Q，我們分別找到兩點的起始位置和終點位置，先確定運動時間。點P從點A運動到點B，速度為1釐米/秒，運動時間為6秒；點Q從點B出發，終點位置在點D，運動速度為3釐米/秒，運動時間為（9+6）÷3=5秒。由此可以確定，總的運動時間為5秒，即點Q最終運動到點D，但是點P並沒有運動到點B，在距離點B1個單位長度時即停止運動。

然後找到轉折點，確定分幾種情況進行討論。可以發現，在0≤t≤5這段時間內，點P一直在AB上運動，點Q先在BC上運動，然後再CD上運動，因此點C為點Q運動的轉折點，需要分兩種情況進行討論。

（1）當0≤t＜3時，此時點P在線段AB上，AP=t；點Q在線段BC上，BQ=3t；（2）當3≤t≤時，此時點P在線段AB上，AP=t；點Q在線段CD上，CQ=3t-9，DQ=6-（3t-9）=15-3t。