分形幾何
自然界的幾何學
Long long ago，超模君為大家介紹Koch曲線（傳送門）的時候提到了分形，結果小天很好奇這個所謂的分形究竟是什麼。為了不讓小天老是糾纏這個問題，今天超模君就來介紹一下分形吧。
數千年以來，幾何學的研究主要集中在歐幾裡得幾何上。正因如此，歐式幾何一直是人類認識自然物體形狀的有力工具，還是各種學科理論的基礎。甚至伽利略曾斷言：「大自然的語言是數學，它的標誌是三角形、圓和其他幾何圖形」。
但，真的是這樣嗎？
事實並非如此，自然界中存在著各種不規則不光滑不連續的幾何形體，譬如湍流的高漩渦、河流的支流、蜿蜒的海岸線，而這些形體是無法用歐式幾何描述的。
既然「萬能」的歐式幾何不管用了，那麼有沒有處理這些不規則形體的好方法呢？
顯然是沒有的。
因此在1個多世紀前，所謂的數學怪物出現了，而康託爾、魏爾斯特拉斯等數學家則成為了製造者。
1883年，康託爾（傳送門）引入了如今廣為人知的康託爾集，也稱為三分集。雖然康託爾集很容易構造，還是個測度為0的集，也就是它的函數圖像面積為0，但它具備很多最典型的分形特徵，因此康託爾始終無法解決。
目前分形幾何的特徵有：在任意小的尺度上都能有精細的結構； 太不規則； （至少是大略或任意地）自相似，豪斯多夫維數會大於拓撲維數（但在空間填充曲線如希爾伯特曲線中為例外）； 有著簡單的遞歸定義。
Cantor集
1895年，在大部分數學家認為除了少數特殊的點以外，連續的函數曲線在每一點上總會有斜率的情況下，魏爾斯特拉斯提出了第一個分形函數「魏爾斯特拉斯函數」，並憑藉函數曲線特點「處處連續，處處不可微」證明了所謂的「病態」函數的存在性。
1906年，科赫在論文《關於一條連續而無切線，可由初等幾何構作的曲線》中提到了一種像雪花的幾何曲線，而這個雪花曲線就是de Rham曲線的特例科赫曲線（傳送門）。
Koch曲線
1914年，波蘭數學家謝爾賓斯基利用等邊三角形進行分形構造，提出了謝爾賓斯基三角形；兩年後，利用正方形進行分形構造提出了謝爾賓斯基地毯。
謝爾賓斯基三角形和謝爾賓斯基地毯（3D）
之後的59年間，陸續有人研究出相關的分形情況，但始終都沒有人能夠消滅這些數學怪物，直到「分形學之父」Benoit Mandelbrot（本華·曼德博，又譯為芒德布羅）誤打誤撞發現了一隻臭蟲，誕生了真正屬於自然界的幾何學——分形幾何，才徹底解決。
Benoit Mandelbrot
1961年，在IBM擔任研究員的Mandelbrot收到了解決阻止信號傳輸的白噪聲的任務。雖然任務相當簡單，但是Mandelbrot被要求提供新的解決方案，因此他只好藉助自身擅長可視化思考問題的優勢來探索解決方法。
於是在從形狀上觀察白噪聲的時候，Mandelbrot發現白噪聲轉換而成的擾動圖形揭示了一種奇怪的特徵：無論圖形的比例是多大，無論數據代表的時長是多少，擾動模式基本一致。
這很奇怪，誰能告訴我為什麼
這個奇怪的特徵讓Mandelbrot甚是苦惱，不過他有個好叔叔。因為他的叔叔佐列姆·芒德勃羅伊（Szolem Mandelbrojt）曾經建議他研究研究皮埃爾·法圖（Pierre Fatou）和加斯頓·朱利亞（Gaston Julia）建立的迭代理論和公式z = z2 + c。
公式採用變量z和參數c，映射了複平面上的數值。其中x軸測量複數的實數部分，而 y 軸測量複數的虛數部分。
而正是因為這個建議，在藉助IBM家的高性能計算機的情況下，Mandelbrot通過迭代對數字進行了成千上萬次的運算和處理，最終成功繪製輸出值的圖形—一個形似臭蟲的圖形。
迭代是重複反饋過程的活動，其目的通常是為了逼近所需目標或結果。每一次對過程的重複稱為一次「迭代」，而每一次迭代得到的結果會作為下一次迭代的初始值。
沒錯，這就是那隻臭蟲
圖形的成功繪製並沒有讓Mandelbrot過於興奮，因為他在細心觀察後發現這隻臭蟲的小觸角跟大觸角的形狀是一樣的，但是結構並不完全一樣，每一個小觸角比前一個觸角更為複雜。也就是說全部觸角的形狀都很相似，但是細節存在不同之處。
Mandelbrot對此甚感興趣，進行深入研究後得出細節的特異性僅限於計算等式所用的機器的能力，而形狀的相似可以永遠持續下去—無限地揭示越來越多的細節。隨後，Mandelbrot就覺察出自己無意中有了能夠震驚數學界的發現—一種新的幾何學。
對於這類重複的或者自身相似的數學圖形，Mandelbrot在1975年提出了「分形」（Fractal），緊接著在1967年，他發表了題為《英國的海岸線有多長》的劃時代論文，萌生出分形思想。
此後，Mandelbrot越發勤奮地進行研究，陸續出版了《分形學：形態，概率和維度》（法文）、《分形：形狀，機遇和維數》（英譯本）和《大自然的分形幾何》（第一版），但是這三本書並沒引起人們對分形的注意。
直到1982年出版的《大自然的分形幾何》（第二版）才讓分形幾何徹底走進公眾的視野，而通過描述樹，Mandelbrot指出了分形幾何適用於自然物質。
就這樣，分形幾何學誕生了（而分形幾何還沒有一個標準統一的定義），與此同時，此書成為了分形學界的「聖經」。
實際上，Mandelbrot創造的分形幾何學具有極為重要的影響，它很快就進入了主流數學研究範疇，幫助數學家們徹底解決了困擾著大家N年的數學怪物，還對非負實數維數進行研究，形成分形理論，並應用於多個領域。
「 Mandelbrot集」（曼德博集）
不要以為分形學很高級，它的應用我們接觸不到。不是這樣的，分形幾何其實無處不在，離我們最近的要數身體中的生理過程了。
舉個慄子！
在過去很長時間裡，科學家們一直認為人類的心臟是以規則的線性形式跳動，然而真正健康的心臟的心率是以特殊的不規則形式跳動的。同樣，體內的血液也是以不規則方式在人體內分布。
藉助分形幾何，醫生無需藉助更清晰的醫學圖像或者更強大的機器就可看到人體器官癌變前的結構，並能通過分形學生成的數學模型更早的檢測出癌變細胞，而非顯微鏡。
生物和醫療只是分形幾何的其中兩個最新應用領域，而更加為人所知的應該就是分形藝術了。
最開始將藝術和數學聯繫在一起還是Mandelbrot，他向世界展示了這兩個領域並非互相排斥的，之後分形藝術便一發不可收拾。
分形藝術不同於普通的「電腦繪畫」，它主要利用分形幾何學原理，藉助計算機強大的運算能力，將數學公式反覆迭代運算，再結合創作者的審美及美術功底，就將創作出一幅幅精美的藝術畫作。
數學之美是非常令人興奮、鼓舞人心的，並且我們一直在研究，一直在研究，看不到終點。
本文由超級數學建模編輯整理
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