力學小常識之泊松比
泊松比由法國科學家泊松（Simon Denis Poisson,1781-1840）最先發現並提出。他在1829年發表的《彈性體平衡和運動研究報告》一文中，用分子間相互作用的理論導出彈性體的運動方程，發現在彈性介質中可以傳播縱波和橫波，並且從理論上推演出各向同性彈性杆在受到縱向拉伸時，橫向收縮應變與縱向伸長應變之比是一個常數，其值為四分之一。
定義彈性力學中對泊松比的定義為：在比例極限內，均勻分布的縱向應力作用下橫向應變與縱向應變的比值，如下：
其中為縱向應變，為橫向應變。
現在一般通過試驗手段獲得，比如在材料試驗機上通過平板拉伸試驗測得縱向和橫向應變。對於各向同性材料，一般是縱向伸長橫向收縮。
取值範圍
在自然界中，有兩種人們生活必不可少的物質，即水和空氣。根據泊松比的定義，我們可以想像得到空氣的泊松比是0。水為不可壓縮流體，根據體積守恆準則，可以推導出水的泊松比是0.5。一般各向同性材料的泊松比位於0~0.5之間，孔隙率越高泊松比一般越低，越接近不可壓縮（incompressible）類材料泊松比越靠近0.5。注意，不可壓縮材料（incompressible）是指變形過程中體積變化為零，而不是不可變形（undeformable）材料。常用的幾種材料的泊松比如下圖所示：
對於各向同性材料，根據彈性理論可以推導出以下兩個公式，從而確定泊松比範圍。
一個是剪切模量：；
一個是體積模量：。
由於剪切模量和體積模量都要求大於零，因此泊松比的理論下限是-1.0，理論上限是0.5。
負泊松比實際中常見的各種材料，泊松比一般都在0~0.5之間。但從上述泊松比理論取值範圍來看，是存在負泊松比的。那麼它真的存在麼？
1987年，Lakes[1]把一個110×38×38mm的普通聚氨酯泡沫放入75×25×25mm的鋁製模具中，進行三維壓縮後再對其進行加熱、冷卻和鬆弛處理，得到的泡孔單元呈內凹(re-entrant)結構(如下圖所示)，首次通過對普通聚合物泡沫的處理得到具有特殊微觀結構的負泊松比材料，並測得其泊松比值為-0.7[2]。從其泡孔單元可以看出其微觀上呈內凹多杆結構，當縱向拉伸時，由於多杆結構間變形傳力導致橫向產生膨脹變形而不是正常材料的收縮變形，從而出現負泊松比現象。
目前發現的負泊松比現象主要集中在多孔泡沫材料、在特殊鋪層的各向異性複合材料厚度方向上、高分子聚合物以及部分晶體。負泊松比材料具有特殊的微觀結構和特殊的用途，若想講清楚需要開一個單章。若讀者有興趣，請留言。
大泊松比從經典彈性理論推導知道泊松比最大不會超過0.5，那麼在真實世界中的各式各樣材料中是否存在泊松比大於0.5的情況呢？
首先我們從體積模量公式來看，當泊松比大於0.5時，表示體積模量為負數，它的物理意義是材料受壓時，體積發生膨脹，這是違反物理定律的，因此理論上是不存在的。
但是，若從泊松比的定義出發，注意到是要求在比例極限內的，當超過比例極限時，泊松比隨應力變化而變化，已經不是常數（不能反映材料特性），因此實際上已不是泊松比，而是應變的比值，這種情況下經典理論已經不成立了。此時若還稱為泊松比，則應指出測試應力值，對於各向異性材料，泊松比隨施加應力的方向變化[3]。
對於土體等特殊材料，是有可能出現泊松比大於0.5的情況的。孫益振等[3]對圓柱狀粉土進行圍壓試驗，通過測量軸向應變-徑向應變曲線，可以求得泊松比曲線。比如對密度1.5g/cm3的粉土，在不同壓力下測量其泊松比（徑向應變/軸向應變)變化情況，得到的曲線如下圖所示，可以看到隨著主應力比的增加，泊松比增加，可以超過0.5。
而對於各向異性複合材料而言，鋪層結構經過精心設計的複合材料的泊松比不僅可以小於零也可以大於0.5，甚至可以大於1.0。但是和粉土這種材料不同的是，複合材料的泊松比一般可以根據各個鋪層的彈性變形協調推導出來的，因此是一個不隨外力變化的常數。比如劉文慶[4]給出了鋪層為(±35°/±42°/±45°)2s的碳環氧複合材料層合板的面內泊松比和厚度方向泊松比分別為1.3和-0.54，實驗測得的厚度方向泊松比為-0.48。
結語泊松比是力學分析和計算不可缺少的一個關鍵常數，對於其定義的理解有助於工程師從宏觀角度判斷分析結果的準確性。總結如下：
1）對於各向同性材料，一般泊松比位於0~0.5區間（常見材料0.25~0.4，橡膠0.5），理論泊松比位於-1.0~0.5區間。
2）對於各向異性材料，泊松比取值不受限制，各個方向泊松比可能存在很大差異，可以小於0，也可以大於1.0。
3）負泊松比材料是存在的，需要具有特殊的微觀結構，往往具有特殊的用途。
參考文獻[1] Lakes R S. Science,1987,235,1038.
[2] 史偉等. 負泊松比材料研究進展. 高分子通報. 2013, 第6期.
[3] 孫益振等. 基於局部與整體變形測量的粉土泊松比試驗研究. 巖土工程學報. 2006, v28, 第8期.
[4] 劉文慶等. 對稱複合材料層板彈性模量和泊松比的計算. 宇航材料工藝. 2003, 第3期.
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