楊氏模量剪切模量泊松比的關係式怎麼來的

2021-01-20 嬋嬋NVH學習筆記

 它怎麼來的 ？


再說這個之前先要了解一些概念，不慌，一個一個的來。

第一，應力的概念：見上一篇學習筆記。

第二，應變的概念：物體受到外力或其他因素的作用以後，幾何形狀和尺寸發生相對改變的物理量。以正向力改變物體長度為例：


應變是一個變化率，是一個量綱為1的物理量。

第三，彈性模量：

 先看應力應變的一個關係曲線


在Oa 階段應力和應變是完全的線性關係，我們把這一階段的物體變形稱為彈性形變，就是物體拆除外力後可完全恢復的形變。後面就是塑性直到破壞的形變啦，不研究了！

    那麼彈性模量就是O到a 這段線的斜率，量綱和應變一樣。


在彈性限度內滿足這樣的線性規律是胡克同學發現的，所以叫胡克定律。

第四，楊氏模量：

 楊氏模量其實是彈性模量的其中一種，縱向模量就是楊氏模量，還有切向模量，體積模量。楊氏模量是由一個很牛逼的科學家託馬斯楊提出的，所以叫楊氏模量。

第五，泊松比：

材料沿載荷方向上受力產生伸長（或縮短）變形的同時,在垂直於載荷方向上會產生縮短（或伸長）變形.


在材料彈性變形階段內,泊松比是一個常數，因為是泊松同學發現的，就叫泊松比。 是泊松比建立起來了楊氏模量和剪切模量之間的關係。就是開頭提到的那個公式。

 

這個公式怎麼來得呀？苦苦尋覓，百度知乎都沒查到具體推證，在各種檢索中知道了一本蓋爾寫的材料力學書上可以得到答案，然後淘寶下叉買了電子版還只有英文版的，天！真的是和我這個學渣徹底過不去麼，555555。硬著頭皮看了，感覺太需要想像力了，當理性說服不了自己的時候，就用想像力吧。

    好了好了。進入正題

假設一個正六面體受到一組純剪切力，被夾成了一個橫截面為菱形的六面體

這個結論超出我的認知，不是說好了的，應變沒有量綱嗎是個比值麼？怎麼就變成角度了呢？我嘗試用Tan（r）=r由於r無限小所以在0點泰勒級數展開，他們就相等，這樣至少是近似於一個比值呢。但是沒有找到相關的說法。好吧，那麼就接受書上的說法吧，由於這樣的變形並沒有造成邊長的變化，而只有角度的變化，而且這個角度很小，我們用弧度來表示它，把它當成應變。根據胡克定律它可以用切應力除以切向彈性模量G得到。Ok. 接下來 再看圖。既然只考慮兩組稜面的純剪切力。那麼我們就給它放到xy平面上。

雖然受到剪切力的影響，四條邊的長度不會有影響，但是對角線db是會變化的，這個力的方向是變長。 腦子不好使特地用小孩的水彩筆擺了擺，嗯！ 確實是這樣子的。那麼把這個力旋轉45度，正方形朝相反的方向也旋轉45度。這個圖是不是很熟悉呢？就是介紹泊松比出現過的。這是一個近似值，在db方向上的最大應變。

下面接著看圖，這次算的是真正的db對角線變化

那麼經典的公式出來了(๑＞ڡ＜)☆


，發現我高中大學都沒有這麼如此勤奮過，("▔㉨▔)汗 ，奔四的我居然半夜三更還在看材料力學這麼高深而且從來沒接觸過的書。越來越體會到小時候學的那句經典詩詞了……………少壯不努力，老大徒傷悲。😂😂

相關焦點

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    對於線彈性材料有公式σ(正應力)＝Eε(正應變)成立，式中σ為正應力，ε為正應變，E為彈性模量，是與材料有關的常數，與材料本身的性質有關。楊（ThomasYoung1773～1829）在材料力學方面，研究了剪形變，認為剪應力是一種彈性形變。 1807年，提出彈性模量的定義，為此後人稱彈性模量為楊氏模量。
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  • 彈性模量及剛度關係
    （1）定義彈性模量：材料在彈性變形階段內，正應力和對應的正應變的比值。材料在彈性變形階段，其應力和應變成正比例關係（即符合胡克定律），其比例係數稱為彈性模量。「彈性模量」是描述物質彈性的一個物理量，是一個總稱，包括「楊氏模量」、「剪切模量」、「體積模量」等。
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  • 談談另一個材料基本參數——泊松比
    材料的基本參數之一，對於各向同性線彈性材料，僅需要設置，密度，楊氏模量和泊松比，那麼就可以進行有限元計算了。
  • 什麼是材料的楊氏模量?它的定義與計算公式是什麼?
    換一種說法：楊氏模量值低表示固體具有彈性。高的楊氏模量值表示固體無彈性或硬。方程和單位楊氏模量的方程為：E =σ/ε=（F / A）/（ΔL/ L 0）= FL 0 /AΔL其中：E是楊氏模量，通常以帕斯卡（Pa）表示σ是單軸應力ε是應變F是壓縮力或伸展力A是橫截面積或垂直於作用力的橫截面ΔL是長度的變化（壓縮時為負；拉伸時為正）
  • 楊氏模量的測量
    楊氏彈性模量的測定是材料力學的一個重要課題，任何固體受荷載所產生的應力、應變和變形都和楊氏模量有關 . 測量固體材料的楊氏模量關鍵在於測量材料受力後的形變大小，通過本實驗的設計可以學習不同的測量微小長度的方法 .【預習要求】1 .
  • 楊氏彈性模量測量實驗綜述
    (in Chinese)[12] 車東偉,姜山,張漢武,等.靜態拉伸法測金屬絲楊氏模量實驗探究[J].大學物理實驗,2013,26(2):33-35.CHE D W, JIANG S, ZHANG H W, et al.
  • 細說彈性模量
    例如：　　線應變——　　對一根細杆施加一個拉力F，這個拉力除以杆的截面積S，稱為「線應力」，杆的伸長量dL除以原長L，稱為「線應變」。線應力除以線應變就等於楊氏模量E=( F/S)/(dL/L)　　剪切應變——　　對一塊彈性體施加一個側向的力f（通常是摩擦力），彈性體會由方形變成菱形，這個形變的角度a稱為「剪切應變」，相應的力f除以受力面積S稱為「剪切應力」。
  • 【楊氏模量】實驗須知
    【實驗原理介紹】楊氏模量是描述金屬材料抵抗形變能力的一個重要物理量，楊氏模量越大，材料越「結實」，變形越困難，鋼的楊氏模量相當於鋁的三倍 ，所以鋼比鋁「硬」。測量楊氏模量可以採用靜態拉伸法，即選取一根細長的鋼絲，沿長度方向施加外力使其伸長，假設外力為F，鋼絲橫截面積為S，鋼絲原長為L，伸長量為ΔL, 則對鋼絲施加的作用記為F/S，稱之為應力（顯然，同樣的力作用在不同橫截面積的鋼絲上，即便鋼絲一樣長，伸長量也不一樣，所以「單位面積上的力「顯然更為合理），鋼絲的變形用ΔL/L來表示，記為應變。
  • 彈性模量E及剪切模量G的本質
    彈性模量E及剪切模量G，反映的是該材料中原子的本性以及原子之間的鍵合力。最簡單的反映材料彈性模量大小的參數是該材料熔點的高低。
  • 也來學點超聲工程學丨楊氏模量E(Kpa)不能作為肌肉肌腱彈性特徵的定量參數
    然而，筆者在參加國內各種學術會議，並大致瀏覽了一下國內學術期刊發表的剪切波彈性成像在肌骨應用的文章後，不禁有些憂心，因為這些作者犯了一個常識性的錯誤：將肌肉或肌腱的彈性特徵用楊氏模量E（Kpa，千帕）來代表。