十進位和二進位之間的轉換

2021-01-08 電子產品世界

既然一個數可以用二進位和十進位兩種不同形式來表示，那麼兩著之間就必然有一定的轉換關係。
　　由十進位數的一般表示式：
　　可以得到整數的一般表達式：

　　將等式兩邊分別除以2，可得第一個餘數b0，同時上式演變為：

　　將等式兩邊再除以2，可得第二個餘數b1，等式變為：

　　重複上述過程直到商為0，就可由所有的餘數求出二進位數。

　　例題 1.3.3 將(25)D轉換為二進位數。
　　解：該題的解題思想是，不斷地用2分解十進位整數，並將餘數按得到的順序由低位到高位排列，即可得到對應的二進位數。

　　所以(18)D＝(b4 b3 b2 b1 b0)B＝(10010)B
　　例題1.3.4 將(155)D轉換為二進位數解：當要將一個很大的十進位數轉換成二進位數時，採用例題1.3.3的做法很費時 ，我們可以採用另外一種方法。這種方法的思想是從需要轉換的十進位數找到與之最接近的2的冪次方，並從這個十進位數中減去該2的冪次方，在剩下的餘數中重複這種做法，直到餘數為0。然後將所得到的這些2的冪次方與二進位數中的位權相比，相同的位標記為1，其餘的為0，這樣就可得到與十進位數對應的二進位數。
　　現在我們來看看155這個十進位數，與2的各個冪次方數比較後可知，與155最近的是128，即27，155減去128後餘數為27，而27最接近的是24，27減去16得到11，11減去8（23）得到3，3減去2（21）得到1，1減去1（20）得到0。由於在本次計算中得到2的最高冪次為7，因此可以得知對應的二進位數是一個八位的二進位數，寫出這個二進位數的位權，並將其與得到的五個2的冪次方數對比後填入1，其餘的用
0代替，最後得到的二進位數為10011011。

　　需要指出的是，多數計算機或數字系統中只處理4、8、16、32位的二進位數據，因此,數據的位數需配成規格化的位數，如例題1.3.3種轉換結果為11001，如將它配成8位,則相應的高冪項應填以0，其值不變，即11001=00011001。
　　根據十進位數的一般表達式，可以得到十進位小數的表達式如下
：

　　將等式兩邊分別乘以2，可得：

　　比較上面兩式，可以發現第一項中2的冪次已經由原來的-1變成了0，而20是整數的最低位的位權，因此可以將該項從表達式中去掉，也就是去掉了b-1。，這樣也就使得剩下的數保持為純小數。繼續在表達式的兩端乘以2，可得：
　　這樣又得到了一個20項，也就是b-2也將再次被從式子中剔除，但同時也就產生了二進位小數的前兩位。重複上述過程，直到 滿足要求的位數時做「四捨五入」，也就完成了從十進位小數到二進位小數的轉換。
　　例題8：將(0.706)D轉換成誤差ε不大於2-10二進位小數。
解：
　　0.706 ×2=1.412……1……b-1
　　0.412 ×2=0.824……0……b-2
　　0.824 ×2=1.648……1……b-3
　　0.648 ×2=1.296……1……b-4
　　0.296 ×2=0.592……0……b-5
　　0.592 ×2=1.184……1……b-6
　　0.184 ×2=0.368……0……b-7
　　0.368 ×2=0.736……0……b-8
　　0.736 ×2=1.472……1……b-9

　　最後一位小數0.472小於0.5，根據「四捨五入」原則，則有：
0.0 ×2=0……0……b-10

所以, (0.706)D=(0.101101001)B，誤差ε 2-10


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