作者|吳昊&編輯|羅數君
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導語：數學，是一項十分奇妙的思維活動。從曾經蘇格拉底的蘋果林到現在秘書申請人的最佳匹配，甚至選擇最佳配偶的概率......數學將這些毫無關聯的活動用「37%」這個簡單的數字緊緊聯繫在了一起。想知道為什麼是「37%」嗎？請讀者們瀏覽今天的文章尋找答案吧！
曾經有這樣一個故事。蘇格拉底帶著他的一群學生去蘋果林，要求在每個人穿過蘋果林時挑選一隻自己認為最大的蘋果，但是學生們不能回頭，也不能選擇多個蘋果。在終點集合時，學生們紛紛表示對自己的選擇不滿意。有的抱怨放棄了之前的大蘋果，有的抱怨選擇得太早，錯過了後面的大蘋果。然而，蘇格拉底語重心長地總結到：「這就是人生——一次無法重複的選擇「。但是，作為一名老師，蘇格拉底也許應該引導學生們，該怎麼選擇？
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與」如何拿到最大的蘋果？「類似的問題還有很多，最著名的就是「秘書問題」。如果有n個申請者同時申請一個秘書職位，你作為人事經理只能選擇一個錄取，並且不能吃回頭草，也就是說，在對每一個秘書候選人面試結束後，你只有兩個選擇：錄用此人，所有面試結束；請其回家，老死不相往來。在這種情況下，你應該用什麼樣的錄取策略，才能最大化被錄取者在所有申請者裡面最優秀的概率呢？
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這類「最優停止問題」（Optimal Stopping Problem）」看起來很難，不像有什麼簡單的答案。但是，數學家們偏偏通過計算給出了一個數：1/e，近似於37%。
-這個數是什麼意思呢？又是怎麼樣推論出來的呢？-
當n足夠大時（比如n=100），最前面的n/e個申請者不管有多好都不錄取，也就是說面試的前（100/2.71828）人，即前37人，不錄用，僅供參考。在後面的面試中，只要有一個比前面申請者都優秀的，就立即錄取。如果一直都沒有合適的申請者，就錄取最後一個申請者。通過以上策略所得出錄取者的最優秀的概率也恰好等於1/e，近似於37%。
直覺上理解，前面的這n/e個申請者的作用在於「試水」，也就是先估測一下申請者整體的質量。在這之後，如果一個申請者比前面的人都優秀，就說明TA有較高概率是所有申請者中最優秀的人。
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具體來說，假設我們用前k個人來試水，那麼得到最優解的概率應該是
對一個固定的i來說，如果i是最好的申請者，那麼TA被選中的概率就等於TA前面的申請者都被拒絕的概率。也就是說，只有當i-1個人裡最優秀的人恰好在前k個必須被拒的申請者中時，我們才可能等到第i個人。
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我們注意到，n個人中，任一申請者最優秀的概率都是1/n。同理，前i-1個人中，每個人最優秀的概率都是1/(i-1)，那麼前k個人中出現了這個最優秀的人的概率就是k/(i-1)。據此，我們可以把之前的最優解概率寫為
你可能已經認出來，
也就是第n個調和級數。在n足夠大時約等於ln(n+1)，所以概率等於
注釋：調和級數（Harmonicseries）是一個發散的無窮級數。調和級數是由調和數列各元素相加所得的和。（來自百度百科）
調和數列：正整數的倒數組成的數列。例如：1+1/2+1/3+......+1/n+......（來自百度百科）
下圖是n=100時，這個函數隨k的變化：
我們可以觀察到，這個函數在k為2-100時是個凸函數，所以在其導數為0時就能取得最大值。由此，我們得到導函數
注釋：凸函數是指一個定義在某個向量空間的凸子集C（區間）上的實值函數。凸函數還有一個重要的性質：對於凸函數來說哦，局部最小值就是全局最小值。
所以能算出
也就是說，在k=n/e時得到的最優選擇的概率最大。將k=n/e代入到概率的表達式中，可以得到
所以，錄取到最優秀申請者的概率約等於1/e，近似於37%。
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雖然這看起來不夠完美，但可以證明，這已經是最佳策略了。如果蘇格拉底有100個學生，而每個人能遇到大概100個蘋果，那麼只要他們找到比前37個蘋果大的蘋果，就可以將它直接收入囊中。按照這個策略，他們中拿到最大的蘋果的人數的期望值近似於100x37%=37人，這遠遠好於沒人拿到最大的蘋果。
同樣有趣的是，有些數學家在選擇伴侶時，也採用了這種策略。先找出11個比較適合的約會對象，然後順序嘗試約會，先拒絕掉前4個。從第五個開始，如果找到比前四個都合適的人，就直接結婚。在有些美劇裡，約會的雙方也會以「You are my 37%」為名打發對方，也是這個緣由。
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值得注意的是，這個策略要求讀者們提前知道大概有多少個可能的申請者，以此來算出應該先拒絕多少人。類似的，我們可以根據時間來進行篩選。比如，你有一個小時可以在網上購物，假設你瀏覽每個物品的時間差不多，那麼你在前60x37%≈ 22分鐘可不要下單哦！但是，如果讀者們完全不知道自己的考慮範圍的話，那麼這個方法就不能用了。
從蘇格拉底的蘋果，到秘書的選擇，再到相親......這些看起來毫無聯繫的事情卻被37%這個看起來很隨機的數字聯繫到了一起，這就是數學的魅力。它將生活中一個個看起來令人毫無頭緒的難題轉化為數學推理，從而從另一個角度嘗試解決問題，是不是很神奇呢？
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（本文原載於「羅博深數學」：LuoboshenMath）