正方形內有個P點求面積,輔助線原來這樣做,初二初三孩子必看!

2020-12-04 明德數學角

P為正方形ABCD內的一點，並且PA＝1，PB＝2，PC＝3，求正方形ABCD的面積多少？

如圖，本題和前面做過一個等邊三角形的題，有著異曲同工之處，不同的是，本題是正方形ABCD內的一點P，且本題是求面積，我們沿用之前的思路直接通過圖形旋轉來思考。

將△ABP繞B點旋轉90°，得到△CBQ，連接PQ，如圖

根據旋轉，得出△PBQ是等腰直角三角形，QC=AP=1，

則∠BQP=45°，PQ=√2·BP=2√2，

在△PQC中，PC=3，PQ=2√2，QC=1,由勾股定理逆定理可得∠PQC=90°，因此∠BQC=135°。

本題求正方形面積，即求正方形邊長，到目前只得出了角的度數，需要考慮怎樣求邊的長度。

我們發現∠BQC=135°，135°是一個比較特殊的角，它的補角是45°，聯想到我們熟識的等腰直角三角形。於是我們繼續作輔助線構造等腰直角三角形。

如下圖，過B點BF垂直於CQ的延長線於F

△BFQ是等腰直角三角形，在Rt△BFQ中，BQ=2，求得BF=FQ=√2，

我們要計算正方形ABCD的面積，就是求BC的平方即可。

最後一步仍然用勾股定理求得，答案如圖：

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