03-04-17_火箭加速偏轉角度
本期高中物理競賽試題，我們共同來研究一下衛星或飛船變軌後的運動軌道問題，通常來說，衛星或飛船的軌道無非就兩種情況，一種是圓形軌道上的勻速圓周運動，另一種是橢圓軌道上變加速圓周運動，其中對於圓形軌道上的 勻速圓周運動的運行方式，我們已經能夠通過牛頓第二定律和機械能守恆、角動量守恆等原理完整的求解出來，不僅僅能夠得到運動過程中的任何一點的運動狀態，還能夠知道運動軌道的軌道方程，而對於橢圓軌道上運動的變加速圓周運動，我們能夠求解出來的並不是非常多，其中了解比較清楚的就是橢圓軌道上在四個端點處的運動狀態，以及利用掠面速度或克卜勒第二定律來計算從一個端點運動到其它端點的時間，並能夠通過端點的運動狀態，寫出橢圓軌道方程，這些對於同學們而言都不是很難了。
但是同學們可能忽略了一個非常重要的知識點，那就是在變軌過程中，怎樣的條件下才能從圓周軌道變化到橢圓軌道，怎樣能從橢圓軌道變化到圓周軌道，有什麼條件沒有，本期題目小編就帶領同學們來研究一下這個問題，並找到了一個非常典型的題目幫助同學們理解這個知識點。
試題預覽
一宇宙飛船環繞一行星做勻速圓周運動，軌道半徑為 R ，飛船速率為 v0 ，飛船上發送機突然點火，使飛船速率從 v0 變到 √3 v0 ，加速度方向與速度方向相同，飛船沿新軌道運動，設 φ 為發動機點火時飛船速度方向與飛船在最遠離行星時速度方向之間的夾角，求角 φ ，並畫出飛船運動軌跡方程圖像。
解題步驟
方法分析
通過上面的解題步驟，可以清晰的看出來，本期題目的重點在判斷飛船變軌的運行軌道，同學們通過解題步驟應該也能夠明白了，其實判斷變軌後的運動軌道的方法其實非常簡單，其實就是計算速度發生變化後的飛船的機械能，如果機械能仍舊小於零，說明飛船不會脫離行星的引力作用，而如果飛船的機械能超過了零，這就說明了當飛船運動到無窮遠處，也就是萬有引力勢能趨近於零的時候，飛船仍然具有動能，這樣的動能作用，將導致飛船脫離行星的萬有引力作用，而成為一顆行星，當然了，這樣的情況同時說明了，飛船的運行軌道不會是簡單的閉環軌道，而應該是在無窮遠處沒有閉合的軌道情況，這就讓我們聯想到了兩類圓錐曲線，一類是雙曲線，另外一類就是拋物線軌道，當然了，具體屬於哪一類軌道，還需要看題目的描述，由於題目中非常明確的說明了飛船運動到無窮遠處有一個固定的運動速度方向，這就說明了軌道在無窮遠處存在切線，換句話說，也就是軌道存在漸近線，這就是這個題目非常重要的一個點，從而進一步確定了軌道的形式應該是存在漸近線的雙曲線，而不是拋物線軌道。
明確了這樣的軌道形式，然後利用機械能守恆，得到無窮遠處的飛船脫離速度，然後利用角動量守恆就能得到實軸和焦距之間的關係，然後利用雙曲線漸近線方程，並結合漸近線斜率與已知角度的關係，聯立方程，不難求出最終的答案，以及最後的運行軌跡方程，由於作圖軟體的限制，在得到軌跡方程的時候，令初始軌道半徑的平方為一，最終得到了如圖所示的軌跡和漸近線方程圖像。