伊辛模型百年小史:最經典的複雜系統模型,卻險些被科學界遺忘

伊辛模型最初是用於解釋鐵磁系統相變的一個簡單模型，在通過數輪開發後，人們逐漸認識到了它作為相變模型的普適性：無論是鐵原子還是水分子組成的系統，在臨近相變時，它們都具有相同的臨界指數。到今天，伊辛模型已經被應用於科學領域的方方面面，但精確求解三維伊辛模型的問題仍然困擾著物理學家，這呼喚著科學方法的新變革。

撰文 | Charlie Wood

翻譯 | 劉華林

審校 | 梁金、劉培源

編輯 | 張爽

來源：集智俱樂部

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在伊辛模型中，高溫會導致箭頭（通常表示粒子自旋）隨機翻轉，而磁力則會讓近鄰的箭頭同向排列。這兩股力量的鬥爭準確捕捉了現實世界中大量系統的特徵。

水在寒冷的冬天結冰，熱湯蒸汽騰騰，物質形態的這種突然而根本的變化人們很早就已經熟悉，但直到20世紀，人們始終沒能揭開這背後的神秘面紗。

圖1：燒杯中的水相變為水蒸汽

科學家們觀察到，物質形態通常是漸進變化的：比如加熱一團原子，每加熱一些，它就膨脹一點。但當這團物質的溫度超過某個臨界點時，它就會產生顯著的改變，變成另一種完全不同的狀態。物質的狀態在物理學中又稱為相，比如水的液態氣態、磁鐵的磁性狀態等，而物質從一種相轉變為另一種相的過程就是相變（Phase transition）。

恰好在100年前，解開相變問題的數學鑰匙登場，並且改變了整個自然科學，這把鑰匙就是伊辛模型。

伊辛模型最早是作為一種模擬磁性物體的簡化模型被提出來的，它設計簡單卻用途廣泛，可以說，伊辛模型在物理學中的普遍程度，就像果蠅在生物學中一樣。

一本不久前出版的統計物理學教科書認為，伊辛模型「能用來對幾乎所有有趣的熱力學現象進行建模」。事實上，這個模型也已經滲透到了物理學以外的各個學科裡，可以用來對地震、蛋白質、大腦甚至種族隔離進行建模。

書名：

Statistical Mechanics: An Introductory Graduate Course

地址：

https://www.springer.com/gp/book/9783030281861

那麼，伊辛模型這樣一個原本用來研究物質磁性的簡化模型，它如何闡明了相變的機制，滲透到各個科學領域，並且至今仍在幫助我們拓寬知識的邊界呢？

從提出到沉寂，伊辛模型的最初五年

1920年，當全世界正從西班牙大流感中恢復時，德國物理學家威廉·楞次（Wilhelm Lenz）開始研究：為什麼將磁鐵加熱到超過某個溫度後，磁性就會喪失。事實上，這正是皮埃爾·居裡（Pierre Curie）在25年前通過實驗發現的現象，當鐵磁系統的溫度超過居裡溫度時，原本具有的磁性就會喪失。

圖2：威廉·楞次（左）與恩斯特·伊辛（右）

楞次設想用一個排布著小箭頭的網格來表示磁鐵，其中每個小箭頭表示一個原子，它的指向要麼朝上、要麼朝下（原子具有內秉磁性，因此可以認為原子像小磁鐵一樣具有南北兩極，從而具有朝向）。每個箭頭都會影響與它相鄰的箭頭，並不斷地嘗試用磁力翻轉它們，使周圍箭頭的方向和自己保持一致。

楞次注意到，如果大多數原子指向一致，它們各自的微小磁場便會融合，使物體在整體層面表現出磁性，就像磁鐵一樣。而如果朝上的原子和朝下的原子均勻混合，它們的磁性將會中和，使得整體不會表現出磁性。

物理學家們發表了數以千計的論文，討論熱和磁在網格上的較量。熱，也就是粒子的隨機振動，它製造無序；而磁力則抵抗著這股混沌之力。楞次認為，在低溫情況下，磁力會成為主導；而當溫度足夠高時，隨機振動將瓦解掉原子們整體的協同狀態——這就解釋了為什麼居裡會觀察到高溫的磁鐵會失去磁性。

楞次向他的研究生恩斯特·伊辛（Ernst Ising）派出任務：解決磁鐵受熱相變過程中的細節問題。儘管真實的磁鐵是三維的，伊辛卻首先將它簡化為一維的線性箭矢鏈，其中每個箭頭都能感應到左右兩個相鄰箭頭的影響。這個模型如今也被稱作一維伊辛模型。

伊辛證明，這條一維的箭矢鏈無法保持磁性。在任何溫度情況下，箭頭的隨機翻轉都會壓制磁場讓它們的指向保持一致的努力。

圖3：一維伊辛模型。對於鐵磁系統而言，當原子的磁矩指向相同時，它們相互作用的能量比較低，整個系統較為穩定，因此磁力讓原子的磁矩方向傾向於保持一致。但熱量會導致原子的磁矩隨機翻轉。

加拿大麥 McMaster 大學的凝聚態物理學家 John Berlinsky 解釋說，一維情況不符合現實世界的鐵磁相變過程。

伊辛於1925年發表了他的成果。他和楞次認為，該結論同樣適用於二維和三維的箭矢網格，因此，他們的模型事實上沒有成功解釋真實磁鐵的特性。這個理論似乎註定要走入失敗理論的墓園。

論文題目：

History of the Lenz-Ising Model 1920–1950: From Ferromagnetic to Cooperative Phenomena

論文地址：

https://link.springer.com/article/10.1007/s00407-004-0088-3

復活又蒙塵：二維伊辛模型

儘管不能解決最初試圖研究的問題，但由於數學方法上的突破，伊辛模型在短暫沉寂後又活了過來。上世紀40年代，它引起了理論物理學家、後來的諾獎得主拉斯·昂薩格（Lars Onsager）的注意。

昂薩格嘗試研究二維的伊辛模型，其中每個箭頭有四個最近鄰而不是兩個，並計算在任何給定的溫度下，朝上的原子所佔的比例。

無論是在一維還是二維情況，要求解這個問題，都需要列出每個箭頭對相鄰的其他箭頭的影響。因為某個箭頭對遠處不相鄰箭頭的影響，是通過一個一個相鄰的箭頭傳導過去的。而在二維平面上，情況遠比一維複雜。

昂薩格的解法於1944年發表。計算機學家索林·以色列（Sorin Istrail）稱這是一種「非人類」的數學方法，至今仍然很難理解。「你一行一行地跟著他的步驟走，最後發現證明是對的，但你對證明過程卻一無所知」。

論文題目：

Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition

論文地址：

https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.65.117

昂薩格證明，對於二維伊辛模型，在低溫情況下箭頭會保持朝向一致，磁力將獲勝。而當系統超過一個特定的「臨界溫度」時，導致無序的混沌之力將勝出，正如同楞次最初猜想的一樣。一個簡單的箭矢網格就可以解釋相變，而不需要像許多物理學家所想的那樣，要考慮真實粒子自帶的各種複雜屬性。

不過伊辛模型仍在蒙塵。它似乎過於簡化，只是展現了一種抽象的現實。丹麥 Roskilde 大學的物理學史專家馬丁·尼斯（Martin Niss）說，當時人們對伊辛模型是持懷疑態度的。

再度崛起：伊辛模型背後的普適性

不過，隨著人們對稀有氣體氬和氦的物理特性的精確測定，伊辛模型的處境再次改變。此前昂薩格解出了一系列「臨界指數」（Critical exponent），來描述在發生相變時，物質的不同屬性（例如密度、比熱容、磁性等）的變化速度。而實驗結果與昂薩格通過理論計算得到的臨界指數是吻合的。

尼斯回顧這段歷史時說，到1965年，大多數物理學家已經接收了楞次和伊辛的模型，儘管物理學家們也同樣很好奇：一個物理上不那麼真實的模型如何求解出了臨界指數這樣的具體細節？

論文題目：

History of the Lenz-Ising Model 1950-1965:from irrelevance to relevance

論文地址：

https://link.springer.com/article/10.1007/s00407-008-0039-5

答案是，伊辛模型抓住了本質。

伊辛模型之所以強大，是因為一系列不相關的物質在臨近發生相變時，都具有相同的臨界指數——現在我們稱這種現象為普適性（Universality）。1971年，美國物理學家肯尼斯·威爾遜（Kenneth Wilson）解決了有關普適性的數學問題，並因此獲得1982年諾貝爾物理學獎。

論文題目：

Renormalization Group and Critical Phenomena. I. Renormalization Group and the Kadanoff Scaling Picture

論文地址：

https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.4.3174

威爾遜證明，雖然在高溫環境下，箭頭指向是隨意的，但隨著系統逐步冷卻並接近相變臨界點，磁力相互作用會驅使相鄰箭頭指向一致，逐漸聚集起許多有序的「島嶼」，並越長越大，在這些島嶼內部，所有箭頭都指向同一方向。臨界指數可以描述這一過程的細節，例如最大的島嶼的是怎樣生長的。

圖4：當伊辛模型接近其臨界溫度時，指向相同的箭頭形成了大大小小各種尺寸的「島嶼」

在臨界溫度下，各種規模的島嶼都可以共存，不論是芝麻大的小島，還是廣闊的大陸。並且在這種特殊情況下，一個箭頭的變化可以直接影響另一個距離遙遠的箭頭，儘管它們並不相鄰。

系統在臨界狀態時具有的這些性質表明，其宏觀屬性已從微觀細節中分離了出來，而這便是普適性的魔力。任何系統，只要具有相同的維數和對稱性，不論它們的微觀組成是鐵原子、水分子還是小箭頭，都會經歷相同的相變。

普適性意味著，對於由很多相互作用的個體組成的系統，當它們的特性可以用「上-下」、「有-無」這樣的一對反義詞來描述時，就可以用伊辛模型來研究。

正如加州大學伯克利分校的凝聚態物理學家弗朗西斯·赫爾曼（Frances Hellman）所說，在處理一些特定問題時，伊辛模型是最簡單的可解模型，運用伊辛模型對於理解這些難題大有幫助。

與此同時，研究者也可以將這個模型適當擴展，以適應不同的物理系統，例如可以讓箭頭在平面上自由旋轉。

窺探未來的物理理論：三維伊辛模型的精確解在哪裡？

雖然伊辛模型幫助物理學家重新理解了物質，但在精確求解三維伊辛模型時，研究者卻遭遇了重重阻礙。在任意給定溫度下，要如何找到一個簡潔的公式，來刻畫三維箭矢網格的磁性呢？伊辛在1920年留下的這個問題，即便是理察·費曼（Richard Feynman）也沒能成功解決。

今天，計算機可以模擬三維伊辛模型，並在合理的精度範圍內找到臨界指數的近似值，於是精確求解三維伊辛模型也變得不很緊要了。不過人們仍然心嚮往之。2012年，物理學家發起了一個聯合協作項目，旨在探索邏輯上可能的物理理論空間，這個理論空間中的每一個點都對應一組臨界指數。他們已經鎖定了包含三維伊辛模型的精確臨界指數的區域，並且還在不斷縮小這一區域的範圍。

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圖5：運用自舉法探索量子理論背後的幾何結構。源：Charlie Wood /Quanta Magazine

2019年12月，他們用這套新方法解釋了1992年一架太空梭上，液態氦呈現的令人費解的測量結果。

論文題目：

Carving out OPE space and precise O(2) model critical exponents

論文地址：

https://arxiv.org/abs/1912.03324

在這個抽象的「理論空間」中，伊辛模型是最簡單的地方之一，因此它也成為開發新工具的試驗場，進而探索未知領域。

法國高等科學研究所的物理學家斯拉娃·雷奇科夫（Slava Rychkov）參與了這個宏偉的計劃，他認為，如果能夠求解三維伊辛模型臨界指數的精確值，那必然是通過一些完全未知的、全新的理論來實現，而這必將是一場革命。

本文經授權轉載自微信公眾號「集智俱樂部」，譯自quantamagazine。